携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第27天，点击查看活动详情

[HNOI2012]集合选数

题目描述

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出 $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 的所有满足以下条件的子集：若 $x$ 在该子集中，则 $2x$ 和 $3x$ 不能在该子集中。

同学们不喜欢这种具有枚举性质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 $n \le 10^5$ ，如何求出 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 $10^9+1$ 取模的结果），现在这个问题就交给你了。

输入格式

只有一行，其中有一个正整数 $n$ 。 $30 \%$ 的数据满足 $n \le 20$ 。

输出格式

仅包含一个正整数，表示 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 有多少个满足上述约束条件的子集。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【样例解释】

有 $8$ 个集合满足要求，分别是空集， ${1}$ ， $\{1,4\}$ ， $\{2\}$ ， $\{2,3\}$ ， $\{3\}$ ， $\{3,4\}$ ， $\{4\}$ 。

【数据范围】

对于 $30 \%$ 的数据， $n \le 20$ 。
对于 $100 \%$ 的数据， $1 \le n \le 10^5$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define int long long
const int maxn=100010;
const int mod=1000000001; 
int n,ans=1,res,last;
int line[20],lim[20];
int a[20][20],f[2][1<<20];
bool check[1<<20],vis[maxn];
inline void build(int x)
{
	for(re int i=1;i<=11;i++)
	{
		if(i==1)a[i][1]=x;
		else a[i][1]=a[i-1][1]*3;
		if(a[i][1]>n)break;
		last=i,line[i]=1,vis[a[i][1]]=1;
		for(re int j=2;j<=18;j++)
		{
			a[i][j]=a[i][j-1]*2;
			if(a[i][j]>n)break;
			line[i]=j;vis[a[i][j]]=1;
		}
		lim[i]=(1<<line[i])-1;
	}
	//printf("case::%d :%d\n",x,last);
}
inline void solve(int x)
{
	res=0;int now=1;
	for(re int i=0;i<=lim[1];i++)f[1][i]=check[i];
	for(re int i=2;i<=last;i++)
	{
		/*for(int j=0;j<=lim[i-1];j++)printf("%d ",f[now^1][j]);
		puts("");*/
		now=i&1;
		for(re int j=0;j<=lim[i];j++)
		{
			f[now][j]=0;
			if(!check[j])continue;
			for(re int k=0;k<=lim[i-1];k++)
			{
				if(check[k]&&!(k&j))f[now][j]=(f[now][j]+f[now^1][k])%mod;	
			}
		}
	}
	//printf("now::%d\n",now);
	//for(int i=0;i<=lim[last];i++)if(check[i])printf("%d\n",i);
	for(re int i=0;i<=lim[last];i++)if(check[i])res=(res+f[now][i])%mod;
	//printf("res::%d\n",res);
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(re int i=0;i<(1<<18);i++)check[i]=((i<<1)&i)?0:1;
	for(re int i=1;i<=n;i++)
	{	
		if(vis[i])continue;
		build(i),solve(i);
		if(res)ans=(ans*res)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

【八月刷题打卡】集合选数