本文已参与「新人创作礼」活动,一起开启掘金创作之路。
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题意:
给你一个序列a,对于数,将其写成任意个连续的数,记第组数的和为,现要你找出所有的的组合,使每个组合中的sum的和为0。
思路:
经过推理,不难发现: 对于为偶数的情况,它的贡献为,k为任意整数,下同; 对于为奇数的情况,它的贡献为。 同时,我们也可以得出第一个重要结论:当选取的全为奇数时,一定合法。 继续推理可得出下一个结论:**当选取的至少有一个奇数时,一定合法。*,证明如下: 记我们选取的数的集合为,且其中存在x个奇数,要证明选取的数合法, 即证明:=这个式子成立 而等式右边的式子又可以等价于:gcd()*k,这一步不多做阐述, 即要证明:=gcd()*k, 记S = 即证明:gcd() | S/2 易得:gcd() | S且由于中存在奇数,因而gcd() 一定不能整除2,所以gcd() | S/2一定成立, 证毕。 接下来看全为偶数的情况,先说结论:我们将所有的偶数写为的形式,则选取的序列满足其中k值最小的数为偶数时,就合法。 证明如下: 同样是上面的那个式子:gcd() | S/2,现在b序列全为偶数,将其中每个数都写为的形式,设最小的k为,把gcd()也写为上述形式,则其等于,且x一定为奇数,不难得出x | S/2,现在只需要证明: | S/2,我们将S/2拆成序列的形式来看就是:{},在这个除以2之后的序列中,原来刚好包含的数都变为了包含的数,而如果这些的个数为奇数,那么再让其除以则会出现小数,而如果个数为偶数,那么就可以让每两个合并为一个,即:选取的序列满足其中k值最小的数为偶数时,就合法。 证毕。 最后的答案就用上面的结论即可得出。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 1e9+7;
ll qpow(ll a, ll b)
{
ll res = 1;
while(b)
{
if(b&1)res = res*a%mod;
b = b>>1;
a = a*a%mod;
}
return res;
}
int sum[40];
ll a[200010];
ll suf[40];
int main()
{
int n;
cin>>n;
ll even = 0,odd = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin>>a[i];
if(a[i]%2)odd++;
else even++;
if(a[i]%2==0)
{
int k = 0;
ll now = a[i];
while(now%2==0)
{
now/=2;
k++;
}
sum[k]++;
}
}
for(int i = 31; i >= 1; i--)
{
suf[i] = suf[i+1]+sum[i];
}
ll ans = qpow(2,n)+mod-qpow(2,even);
ans%=mod;
for(int i = 1; i <= 31; i++)
{
if(sum[i])
{
ans += (qpow(2,sum[i]-1)-1)*qpow(2,suf[i+1]);
ans%=mod;
}
}
cout<<ans%mod<<endl;
}