本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

微分中值定理

一、费马引理

设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意的$x\in U(x_0)$，有

那么$f'(x_0)=0$

证明：

设$x\in U(x_0)时，f(x)\leq f(x_0)$，则$x_0+\Delta x\in U(x_0)$，有$f(x_0+\Delta x)\leq f(x_0)$

当$\Delta x>0$时

又$\because f(x)$在$x_0$处可导，$\therefore f'_+(x_0)=f'_-(x_0)$，则$f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=0$，证毕

二、罗尔定理

如果函数$f(x)$满足：

• 在闭区间$[a,b]$上连续

• 在开区间$(a,b)$内可导

• 在区间端点处的函数值相等，即$f(a)=f(b)$

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使

证明：

$\because f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，由闭区间上最值定理得

$f(x)$在$[a,b]$上必有最大值$M$，最小值$m$

当$M=m$时，则在$[a,b]$上必有$f(x)=M$，则对于$\forall x\in(a,b)$，有$f'(x)=0$，对$\forall \xi\in(a,b)$，有$f'(\xi)=0$

当$M>m$时，$\because f(a)=f(b)$，$\therefore$至少有一个$M$和$m$在$(a,b)$内部取得

假设$M$在$(a,b)$取得，$\exists \xi\in(a,b),f(\xi)=M$

$\therefore\forall x\in[a,b]$，有$f(x)\leq f(\xi)$，由费马引理得，$f'(\xi)=0$，证毕

例1：若函数$f(x)$在$(a,b)$内具有二阶导数，且$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$，其中$a<x_1<x_2<x_3<b$，证明：在$(a,b)$至少有一点$\xi$，使得$f''(\xi)=0$

$\because f(x)$在$[x_1,x_2],[x_2,x_3]$上连续，在$(x_1,x_2),(x_2,x_3)$内可导，且$f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)$

由罗尔定理得

$\exists \xi_1\in(x_1,x_2)$，使$f'(\xi_1)=0$，$\exists \xi_2\in(x_2,x_3)$，使$f'(\xi_2)=0$

$\because f'(x)在[\xi_1,\xi_2]\in (a,b)$上连续，$(\xi_1,\xi_2)$内可导，得$f'(\xi_1)=f'(\xi_2)$

由罗尔定理得，$\exists\xi\in(\xi_1,\xi_2)\subset (a,b)$，使$f''(\xi)=0$，证毕

三、拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足

• 在闭区间$[a,b]$上连续

• 在开区间$(a,b)$内可导

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使

成立

1. 证明

法1

即证$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

设$F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$（因为$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$的原函数）

 

$\because F(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导。由罗尔定理得，$\exists \xi\in(a,b)$使$F'(\xi)=0$，即$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，证毕

法2

即证$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

设$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$（因为$f(x)-f(a)$，将$a$点移到$x$轴上；$-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$即$y_{AB}$的直线$AB$方程，减去$f(x)$直线$AB$方程$f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$此时新函数$A$、$B$两点大小相同，再$-f(a)$，$A$、$B$两点大小相同为$0$），则$F(a)=0,F(b)=0$

$\because F(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导，$F(a)=F(b)=0$，由罗尔定理得，$\exists \xi\in(a,b)$使$F'(\xi)=0$，即$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，证毕

推广：如果函数$f(x)$在区间$I$上连续，$I$内可导且导数恒为零，那么$f(x)$在区间$I$上是一个常数。如$\arctan x+\arctan\frac1x=\frac\pi2$

2. 几何意义

连续曲线$y=f(x)$的弧$AB$上除端点外，具有不垂直于$x$轴的切线，那么这弧上至少有一点$C$，使曲线在点$C$处的切线平行于弦$AB$

例2：证明当$x>0$时，$\frac x{1+x}<\ln(1+x)<x$

法1

设$f(t)=ln(1+t)$，显然f(t)在区间$[0,x]$上满足拉格朗日中值定理，$f'(t)=\frac1{1+t}$

$f(0)=\ln(1+0)=0$（中间的$\ln(1+x)$可以看做$\ln(1+x)+\ln(1+0)$，因此区间是$[0,x]$）

则上式为$\ln(1+x)=\frac x{1+\xi}\quad(0<\xi<x)$

$\because 0<\xi<x$

即

即

证毕

（$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$中的$f'(\xi)(b-a)$中的$(b-a)$以及$f'(\xi)$中的常数组成不等式两侧（或单侧）的常数部分以及不等式两侧相同的部分，如本题$x-0=x$；$\xi$组成不等式两侧不同的部分，可能是变量，如本题$\xi=x$，也可能是常量，如本题$\xi=0$）

法2：

先证$\frac x{1+x}<\ln(1+x)$，即证$(1+x)\ln(1+x)-x>0$，令$f(x)=(1+x)\ln(1+x)-x$，$f'(x)=\ln(1+x)>0$，$f(x)$在定义域内单增，$f(x)>f(0)=0$

另一侧同理，证明不等式的时候不要忘记最基本的方法

四、柯西中值定理

如果函数$f(x)$和$F'(x)$满足

• 在闭区间$[a,b]$上连续

• 在开区间$(a,b)$内可导

• 对任一$x\in(a,b),F'(x)\ne0$

那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi(a<\xi<b)$，使

成立

证明

法1

即证$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0$,设

$\because g(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导

由罗尔定理得，$\exists \xi\in(a,b)$使$g'(\xi)=0$，即

证毕

法2

即证$f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0$，设

有$g(a)=0,g(b)=0$，又因为$g(x)$在$[a,b]$上连续，$(a,b)$内可导

由罗尔定理得，$\exists \xi\in(a,b)$使$g'(\xi)=0$，即

证毕

例3：证明当$x>0$，$\ln(1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$

即证$\frac{\ln(1+x)}{\arctan x}>\frac1{1+x}$，令$f(x)=\ln(1+x),g(x)=\arctan x$

则由柯西中值定理

其中$0<\xi<x$，证毕

洛必达法则

一、定义

设

• 当$x\to a$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零（或函数$f(x)$及$F(x)$都趋于无穷）

• 在点$a$的某去心领域内，$f'(x)$及$F'(x)$都存在且$F'(x)\ne0$

• $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为无穷大）

则

设

• 当$x\to \infty$时，函数$f(x)$及$F(x)$都趋于零（或函数$f(x)$及$F(x)$都趋于无穷）

• 当$|x|>N$时，$f'(x)$及$F'(x)$都存在且$F'(x)\ne0$

• $\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}$存在（或为无穷大）

则

等价无穷小补充：$x-\sin x=\frac16x^3$；$\tan x-x=\frac13x^3$

例1：求$\lim_{x\to0^+}x^n\ln x$的极限

$0\cdot\infty$型，谁的倒数好求导数，谁移到分母上

 

推广：$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\cdot\ln x=0(\alpha>0)$

例2：求$\lim_{x\to\frac\pi2}(\sec x-\tan x)$的极限

$\infty-\infty$型

 

 

例3：求$\lim_{x\to 0^+}x^x$的极限

法1

幂指转换，$u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\cdot\ln u(x)}$

法2

对数化

令y=x^x

$\lim_{x\to 0^+}y=1$

例4：求$\lim_{x\to\infty}\frac{x+\cos x}{x}$的极限

用洛必达法则发现极限不存在，即不能使用洛必达法则

 

使用一般方法

泰勒公式

一、泰勒中值定理

1. 带有佩亚诺（Peano）余项的$n$阶泰勒公式

如果函数$f(x)$在$x_0$处具有$n$阶导数，那么存在$x_0$的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有

其中

2. 带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式

如果函数$f(x)$在$x_0$的某个领域$U(x_0)$内具有$(n+1)$阶导数，那么对任一$x\in U(x_0)$，有

其中

其中$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值

3. 带有佩亚诺余项的n阶麦克劳林（Maclaurin）公式

4. 带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林（Maclaurin）公式

此处$0<\xi<x,0<\theta x<x$，所以$\theta x=\xi$

二、重要函数的麦克劳林展开式

例1：求极限$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-\sin x+\frac12 x^2}{\tan x^3}$

函数的单调性与函数的凹凸性

一、函数的单调性与极值

1. 单调性的定义

设函数$f(x)$的定义域$D$，区间$I\subset D$，如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有

那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调增加的；如果对于区间$I$上任意两点$x_1$及$x_2$，当$x_1<x_2$时，恒有

那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调减少的

单调增加和单调减少统称为单调函数

2. 函数单调性的判定方法

设函数$y=f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导

• 如果在$(a,b)$内，$f'(x)\geq0$，且等号仅在有限内多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$单调增加

• 如果在$(a,b)$内，$f'(x)\leq0$，且等号仅在有限内多个点处成立，那么函数$y=f(x)$在$[a,b]$单调减少

例1：讨论函数$y=\sqrt[3]{x^2}$的单调性

$y'=\frac23x^{-\frac13}=\frac2{3\sqrt[3]x}\quad(x\ne0)$注意去掉没有定义的值，常以此为区间分区间讨论

当$x<0$时，$y'<0$，故函数在$(-\infty,0)$单调递减

当$x>0$时，$y'>0$，故函数在$(0,+\infty)$单调递增

3. 极值的判定

a. 定义

设函数$f(x)$在点$x_0$处的某邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去心邻域$\mathring U(x_0)$内的任一$x$，有

那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的一个极大值（或极小值），函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点

b. 必要条件

设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x_0$处取得极值，则$f'(x_0)=0$（即费马引理）

c. 充分条件

第一充分条件

设函数$f(x)$在$x_0$处连续，且在$x_0$的去心邻域$\mathring U(x_0,\delta)$内可导

• 若$x\in(x_0-\delta,x_0)$时，$f'(x)>0$，而$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f'(x)<0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极大值

• 若$x\in(x_0-\delta,x_0)$时，$f'(x)<0$，而$x\in(x_0,x_0+\delta)$时，$f'(x)>0$，则$f(x)$在$x_0$处取得极小值

• 若$x\in\mathring U(x_0,\delta)$时，$f'(x)$的符号保持不变，则$f(x)$在$x_0$处没有极值

第二充分条件

设函数$f(x)$在$x_0$处具有二阶导数且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\ne0$，则

• 当$f''(x_0)<0$时，函数$f(x)$在$x_0$取得极大值

• 当$f''(x_0)>0$时，函数$f(x)$在$x_0$取得极小值

证明：$f''(x_0)$的情况

$f''(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{x-x_0}<0$

由保号性得，$\exists \delta>0$

当$x_0-\delta<x<x_0$时，则$f'(x)>0$

当$x_0<x<x_0+\delta$时，则$f'(x)<0$

故$f(x)$在$x=x_0$取得极大值

例2：求函数$f(x)=(x^2-1)^3+1$的极值

第二充分条件未必都能用，注意条件$f''(x_0)\ne0$

$f'(x)=6x(x^2-1)^2$

令$f'(x)=0$，得$x_1=0,x_2=-1,x_3=1$

$f''(x)=6(x^2-1)(5x^2-1)$

$f''(1)=f''(-1)=0$，因此不能使用第二充分条件

当$x<-1$时，$f'(x)<0$

当$-1<x<0$时，$f'(x)<0$

故$x=-1$不是极值

当$0<x<1$时，$f'(x)>0$

当$x>1$时，$f'(x)>0$

故$x=1$不是极值

$f''(0)=6>0$

故$x=0$为极小值

二、曲线的凹凸性与拐点

1. 凹凸性的定义

设函数$f(x)$在区间$I$上连续，如果对$I$上任意两点$x_1,x_2$，恒有

那么称函数$f(x)$在区间$I$上的图形是（向下）凹的（或凹弧）；如果恒有

那么称函数$f(x)$在区间$I$上的图形是（向上）凸的（或凸弧）

2. 凹凸性的判定方法

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内具有一阶和二阶导数，那么

• 若在$(a,b)$内$f''(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凹的

• 若在$(a,b)$内$f''(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上的图形是凸的

3. 拐点的定义

设函数$y=f(x)$在区间$I$上连续，$x_0$是$I$内的点，如果曲线$y=f(x)$在经过点$(x_0,f(x_0))$时，曲线的凹凸性发生改变，那么就称点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点

4. 拐点的判定

必要条件

设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f''(x_0)=0$

充分条件

第一充分条件

设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心领域内二阶可导，且$f''(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续），若$f''(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点；反之同号，不是拐点

第二充分条件

设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f''(x_0)=0$，若$f'''(x_0)\ne0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点；若$f'''(x_0)=0$，则此方法失效

例3：求曲线$y=\sqrt[3]x$的拐点和凹凸区间

由第一充分条件，可以根据凹凸区间求拐点；如果题目只要求拐点，看条件是否满足第二充分条件，可以不求凹凸区间，直接求拐点

$y'=\frac13x^{-\frac23}$

$y''=-\frac29x^{-\frac53}$

当$x=0$时，$y',y''$无定义（显然，不能使用第二充分条件）

当$x\in (-\infty,0)$时，$y''>0$，曲线为凹的

当$x\in (0,+\infty)$时，$y''<0$，曲线为凸的

$y(0)=0$

注意拐点是个点，需要求出y值

故$(0,0)$为曲线的拐点

三、函数渐近线的类型及判别方法

水平渐近线

若$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$（或$\lim_{x\to-\infty}f(x)=A$，或$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$），那么$y=A$是$y=f(x)$的水平渐近线

垂直渐近线

若$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$（或$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\infty$，或$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\infty$），那么$x=x_0$是$y=f(x)$的垂直渐近线

找间断点

斜渐近线

若$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a,\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=b$（或$x\to-\infty$或$x\to+\infty$），那么$y=ax+b$是$y=f(x)$的斜渐近线

在同一个方向上（正无穷或负无穷方向），水品渐近线与斜渐近线只能有一条或没有

例4：求$y=x\arctan x$的渐近线有哪几条

$x\to\infty$如果发现$x\to+\infty$和$x\to-\infty$极限不同要分开讨论。如本题，$x\to+\infty$时$\arctan x=\frac\pi2$；$x\to-\infty$时$\arctan x=-\frac\pi2$

$\lim_{x\to+\infty}y=+\infty$

$\lim_{x\to-\infty}y=-\infty$

无水平渐近线

无间断点，无垂直渐近线

$a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2$

$\begin{aligned}b&=\lim_{x\to+\infty}(f(x)-\frac\pi2x)\\&=\lim_{x\to+\infty}x(\arctan x-\frac\pi2)\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\arctan x-\frac\pi2}{\frac1x}\\&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac1{1+x^2}}{-\frac1{x^2}}\\&=\frac{-x^2}{1+x^2}\\&=-1\end{aligned}$

故$x\to+\infty$方向的斜渐近线为$y=\frac\pi2x-1$

$a=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac\pi2$

$\begin{aligned}b&=\lim_{x\to-\infty}(f(x)+\frac\pi2x)\\&=\lim_{x\to-\infty}x(\arctan x+\frac\pi2)\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\arctan x+\frac\pi2}{\frac1x}\\&=\lim_{x\to-\infty}\frac{\frac1{1+x^2}}{-\frac1{x^2}}\\&=\frac{-x^2}{1+x^2}\\&=-1\end{aligned}$

故$x\to-\infty$方向的斜渐近线为$y=-\frac\pi2x-1$

函数最大值、最小值

求函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上函数最值的步骤

1. 求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点及不可导点

2. 计算$f(x)$在上述驻点、不可导点处的函数值及端点的函数值$f(a),f(b)$

3. 比较第二步中的函数值，其中最大的函数值即为$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的最大值，最小的函数值即为$f(x)$在闭区间$[a,b]$上的最小值

 

例1：求函数$f(x)=|x^2-3x+2|$在$[-3,4]$上的最大值与最小值

$f(x)=\begin{cases}x^2-3x+2,x\in[-3,1]\cup[2,4]\\-x^2+3x-2,x\in(1,2)\end{cases}$

$f'(x)=\begin{cases}2x-3,x\in[-3,1]\cup[2,4]\\-2x+3,x\in(1,2)\end{cases}$

令$f'(x)=0$，得$x=\frac32$（这个$\frac32$是$x\in(1,2)$的，不是$x\in[-3,1]\cup[2,4]$，因为$\frac32$不在区间内）

不可导点$x=1,x=2$（即无定义的点（分母为$0$）、分段函数分段点）

$f(-3)=20,f(4)=6,f(\frac32)=\frac14,f(1)=0,f(0)=0$

故$f(x)$的最大值为$20$，最小值为$0$

例2：当$e<a<b<e^2$时，证明$\ln^2b-\ln^2a>\frac4{e^2}(b-a)$成立

法1

即证$\ln^2b-\ln^2a-\frac4{e^2}(b-a)>0$

令$f(x)=\ln^2x-\ln^2a-\frac4{e^2}(x-a)\quad(e^2>x>a>e)$

$f'(x)=\frac{2e^2\ln x-4x}{e^2\cdot x}$

令$g(x)=2e^2\ln x-4x$

$g'(x)=\frac{2e^2-4x}{x}$

令$h(x)=2e^2-4x$

$h'(x)=-4<0$

$h(e)=2e^2-4e<0$，因此$g'(x)<0$

$g(e^2)=0$，因此$f'(x)>0$，即$f(x)$单增

$f(a)=0$，因此$f(x)>0$

法2：柯西中值定理易证，此处不再证明

曲率

曲率$K$与曲率半径的求法

1. 曲率$K$的求法

直角坐标

设曲线的直角坐标方程$y=f(x)$，且$f(x)$具有二阶导数，则曲率公式为$K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{\frac32}}$

参数方程

设曲线由参数方程$\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$所确定，且$\phi(t),\psi(t)$都具有二阶导数，则曲率公式为

2. 曲率半径$R$

曲率半径的公式：$R=\frac1K$