数学建模之排队论基本模型与LINGO求解

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路

读书使人充实，讨论使人机智，笔记使人准确...。凡有所学，皆成性格。 ———— （英国）培根

排队论模型-----基本模型与LINGO求解

排队论又称随机服务系统， 它应用于一切服务系统， 包括生产管理系统、 通信系统、 交通系统、 计算机存储系统。 现实生活中如排队买票、 病人排队就诊、 轮船进港、 高速路上汽车排队通过收费站、 机器等待修理等等都属于排队论问题。 在历年数模竞赛中， 排队论模型应用的全国数模竞赛中2009B的眼科病床的合理安排问题， 美国数模竞赛中2005B收费站最佳配置问题， 2017D机场安检问题。本部分内容分为三部分： 排队论基本构成与指标， 排队论的四种重要模型， 排队论的计算机模拟。

排队论基本构成与指标

==排队论的基本构成==

• 输入过程。 输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统。 包括 ①顾客总体： 顾客的来源是有限的还是无限的。 ②到达的类型： 顾客到达是单个到达还是成批到达。 ③相继顾客到达的时间间隔： 通常假定相互独立同分布， 有的是等间 隔到达 ， 有的是服从负指数分布， 有的是服从k阶Erlang分布。
• 排队规则 排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。 常见的有等待制， 损 失制， 混合制， 闭合制。
• 服务机构 服务机构主要包括： 服务台的数量； 服务时间服从的分布。 常见的有定长分布、 负 指数分布、 几何分布等。

==排队系统的数量指标==

• 队长与等待队长 队长（记为$L_{s}$）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。 等待队长（记为$L_{q}$）指系统中处于等待的顾客的数量。 队长等于等待队长加上正在服务的顾客数

• 等待时间 等待时间包括顾客的平均逗留时间（记为$W_{s}$） 平均等待时间 (记为$W_{q}$​)

  顾客的平均逗留时间,是指顾客进入系统到离开系统这段时间,包括等待时间和接受服务的时间。

• 忙期 从顾客到达空闲的系统， 服务立即开始， 直到再次变为空闲， 这段时间 是系统连续繁忙的时期， 称之为系统的忙期。

​ 服务强度=忙期/服务总时间=1─闲期/服务总时间

==排队论中的符号表示== 排队论中的记号是20世纪50年代初由D.G.Kendall引入的， 由3~5个字母组成， 形式为： A/B/C/n

A表示输入过程， B代表服务时间， C代表服务台数量， n表示系统容量。

• (1) M/M/S/∞表示输入过程是Poisson流， 服务时间服从负指数分布， 系 统有S个服务台平行服务， 系统容量为无穷大的等待制排队系统。
• (2) M/G/S/∞表示输入过程是Poisson流， 服务时间服从一般概率分布， 系 统有S个服务台平行服务， 系统容量为无穷大的等待制排队系统。
• (3)D/M/S/K表示顾客相继到达时间间隔独立、 服从定长分布， 服务时间服 从负指数分布,系统S个服务台平行服务,系统容量K个的混合制系统。
• (4) M/M/S/S表示输入过程是Poisson流， 服务时间服从负指数分布， 系 统有S个服务台平行服务， 顾客到达后不等待的损失制系统。
• (5)M/M/S/K/K表示输入过程是Poisson流， 服务时间服从负指数分布， 系 统S个服务台平行服务,系统容量和顾客容量都为K个的闭合制系统。

排队论中四种重要模型

等待制模型M/M/S/∞

该模型中顾客到达服从参数为λ的 Poisson分布, 在[0,t]时间内到达的顾客数$X(t)$服从的的分布为:

其单位时间到达的顾客平均数为 $\lambda,[0, t]$​ 时间内到达的顾客平均数为 $\lambda t$​ 。 顾客接受服务的时间服从负指数分布, 单位时间服务的顾客平均数为 $\mu$​, 服务时间的分布为:

每个顾客接受服务的平均时间为 $\frac{1}{\mu}$​ 。

下面分别给出S=1和S>1的一些主要结果。 ==只有一个服务台S=1情形==

当系设稳定状太下系统有 $i$ 个顾客的概率为 $p_{i}(i=0,1,2, \cdots)$ 。

$p_{0}$ 表示系统空闲的概率。则 $\sum_{i=0}^{\infty} p_{i}=1 \quad p_{i} \geq 0, i=1,2, \cdots, K$

平衡方程为: $\quad$​ $\left\{\begin{array}{l}\lambda P_{0}=\mu P_{1} \\ \lambda P_{k-1}+\mu P_{k+1}=(\lambda+\mu) P_{k}\end{array} \quad k=1,2,3, \ldots .\right.$​

则系统没有顾客的概率为: $p_{0}=1-\rho=1-\frac{\lambda}{\mu}$

计算出稳定状态下系统有 $n$ 个顾客的概率

$p_{n}=(1-\rho) \rho^{n} \quad n=0,1,2,3 \cdots$​​ ​ 其中 $\rho=\frac{\lambda}{\mu}$​​​ 称为系统的服务强度

系统中顾客平均队长:

系统中顾客平均等待队长:

系统中顾客平均逗留时间： $\quad W_{s}=\frac{1}{\mu-\lambda}$​

系统中顾客平均等待时间: $\quad W_{q}=\frac{1}{\mu-\lambda}-\frac{1}{\mu}=\frac{\lambda}{\mu(\mu-\lambda)}$​

容易得到:

$L_{s}=\lambda W_{s}, \quad L_{q}=\lambda W_{q} \quad W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}, \quad W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}$​

该公式称为Little公式。在其它排队论模型中依然适用。

==系统有多个服务台s>1情形==

当系设稳定状太下系统有 $i$ 个顾客的概率为 $p_{i}(i=0,1,2, \cdots)$ 。

$p_{0}$ 表示係统空闲的概率。则 $\sum_{i=0}^{\infty} p_{i}=1 \quad p_{i} \geq 0, i=1,2, \cdots, K$

平衡方程为: $\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=\lambda P_{0} \\ (k+1) \mu P_{k+1}+\lambda P_{k-1}=(\lambda+k \mu) P_{k} \quad 1 \leq k \leq s-1 \\ s \mu P_{k+1}+\lambda P_{k-1}=(\lambda+s \mu) P_{k} \quad k \geq s\end{array}\right.$

系统中有 $\mathrm{S}$​ 个服务台, 系统服务能力为 $s \mu$​, 服务强度为 $\rho=\frac{\lambda}{s \mu}$​​ 。

系统中顾客平均队长: $L_{s}=s \rho+\frac{(s \rho)^{s} \rho}{s !(1-\rho)^{2}} \cdot p_{0}$ 其中 $p_{0}=\left[\sum_{k=0}^{s-1} \frac{(s \rho)^{k}}{k !}+\frac{(s \rho)^{s}}{s !(1-\rho)}\right]^{-1}$, 表示服务台都空闲的概率。 系统中顾客的逗留时间为: $\quad W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}$ 系统中顾客的平均等待时间为: $W_{q}=W_{s}-\frac{1}{\mu}$ 系统中顾客的平均等待队长为: $L_{q}=\lambda W_{q}$

==LINGO中的相关函数及相关参数计算公式==

(1) 顾客等待概率的公式: $\mathrm{P}_{\text {wait }}=@$​ peb $(\operatorname{load}, \mathrm{S})$​ 其中 $\mathrm{S}$​ 为服务台服务台个数, load 为系统到达的牫荷, 即 $\operatorname{load}=\frac{\lambda}{\mu}$​ 。 (2) 顾客的平均等待时间公式: $\mathrm{W}_{\mathrm{q}}=\mathrm{P}_{\text {wait }} \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{S}-\mathrm{load}}$​ 其中 $\mathrm{T}$​ 为顾客接受服务的平均时间, 有 $T=\frac{1}{\mu}$​. (3）系统中顾客的平均逗留时间 $W_{s}=W_{q}+\frac{1}{\mu}$​ (4) 系统中顾客的的平均队长 $L_{t}=\lambda W_{s}$​ (5) 系统中顾客的的平均等待队长 $L_{q}=\lambda W_{q}$​

==问题1== 某机关接待室只有1名对外接待人员， 每天工作10小时， 来访人员和接待时间都是随机的。 设来访人员按照Poisson流到达， 到达速率为$\lambda=8$人/小时， 接待人员的服务速率为$\lambda=9$人/小时， 接待时间服从负指数分布。

（1） 计算来访人员的平均等待时间， 等候的平均人数。 （2） 若到达速率增大为$\lambda=20$人/小时， 每个接待人员的服务速率不变， 为使来访问人员平均等待时间不超过半小时， 最少应该配置几名接待人员。

解答： （1） 该问题属于M/M/1/∞排队模型

$S=1,\lambda=8,\mu=9$ 需计算来访人员平均等待时间$W_{q}$，等候的平均人数$L_{q}$

LINGO程序为：

model:
lp=8;
u=9;
T=1/u;
load=lp/u;
S=1;
Pwait=@PEB(load,S);!等待概率;
W_q=Pwait*T/(S-load);!平均等待时间;
L_q=lp*W_q;!顾客的平均等待队长;
end

计算结果： 平均等待时间 $W_{q}=0.89$​ 小时=53分$W_{q}$​，等待队长 $L_{q}=7.1$​​人

实现的LINGO程序为：

model:
min=S;
lp=20;
u=9; !服务率;
T=1/u;
load=lp/u;
Pwait=@PEB(load,S);!接待人员的等待概率
W_q=Pwait*T/(S-load);!平均等待时间;
W_q<=0.5;
L_q=lp*W_q;!顾客的平均等待队长;
TT=W_q*60;
!S>=3；
@gin(S);
end

计算结果: 最少需要接待人员S=3人 来访人员等待概率为0.55 平均等待时间为 $W_{q}=4.7$分钟 平均等待队长为 $L_{q}=1.58$人

损失制模型M/M/S/S M/M/S/S模型表示顾客到达人数服从Poisson分布， 单位时间到达率为 ， 服务台服务 时间服从负指数分布， 单位时间服务平均人数为 。 当S个服务台被占用后， 顾客自动 离开， 不再等待。

我们给出LINGO中的有关函数及相关参数的计算公式

(1) 系统损失概率 $\quad \mathrm{P}_{\text {lost }}=@ \operatorname{pel}(\mathrm{load}, \mathrm{S})$

其中 $\mathrm{S}$ 为服务台个数, $\mathrm{load}$ 为系统到达的载荷, 即 $\mathrm{load}=\frac{\lambda}{\mu}$ 。

(2) 单位时间内进入系统平均顾客数 $\quad \lambda_{e}=\lambda\left(1-\mathrm{P}_{\text {lost }}\right)$

(3)系统中顾客的平均队长(系统在单位时间内占用服务台比值) $L_{s}=\frac{\lambda_{e}}{\mu}$​​

(4) 系统中顾客的平均逗留时间(服务时间) $W_{s}=\frac{1}{\mu}=T$

(5)系统服务台的效率 $\quad \eta=\frac{L_{s}}{s}$ 在损失制排队模型中, 顾客平均等待时间 $W_{q}=0$,平均等待队长 $L_{q}=0$​, 因为没有顾客等待。

==问题2== 某单位电话交换台有一部300门内线电话的总机， 已知上班时间有30%的内线分机平均每30分钟要一次外线电话， 70%的分机每隔70分钟时要一次外线电话。 又知从外单位打来的电话的呼唤率平均30秒一次， 设与外线的平均通话时间为3分钟， 以上时间都服从负指数分布。 如果要求外线电话接通率为95%以上， 问电话交换台应设置多少外线？

解： 电话交换台服务分为两部分， 一类是内线打外线， 一类是外线打内线。

内线打外线的服务强度（每小时通话平均次数）(到达率)

外线打内线的服务强度(到达率) $\lambda_{2}=\frac{60}{0.5}=120$

总强度为 $\lambda=\lambda_{1}+\lambda_{2}=360+120=480$

电话平均服务时间为 $T=\frac{3}{60}=0.05$​ 小时，服务率 $\mu=\frac{60}{3}=20$​​​ 个

对该问题， 目标求最小电话交换台数S，使顾客(外线电话)损失率不超过5%， 即

​ $\mathrm{P}_{\text {lost }}\leq5$

建立的优化模型为：

LINGO程序为：

model:
min=S;
lp=480;!每小时平均到达电话数;
u=20; !服务率;
load=lp/u;
Plost=@PEL(load,S);!损失率;
Plost<=0.05;
lpe=lp*(1-Plost);
L_s=lpe/u;!顾客的平均队长;
eta=L_s/S; !系统服务台的效率;
@gin(S);
end  

计算结果为: 最小的电话交换台为S=30 电话损失率为P=0.04 实际进入系统的电话平均为A=460.7 平均队长 $L$=23.037 系统服务台的效率刀 $\eta=0.768$