数学建模指标合成客观权重法matlab实现

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指标合成的客观权重方法

通过一个实例讲解指标权重确定的方法。我们根据采集到的指标对高校进行排名。

数据预处理

(1)统计数据的指标介绍

为全面反映各高校实际情况,选取了包括人才培养、科学研究及成果方面的18个指标。

这18个指标具体为: $X_{1}$ 一授予博士学位， $X_{2}$ —授予硕士学位， $X_{3}$ —优博入选数， $X_{4}$ —发明专利数， $X_{5}$ —实用新型专利数， $X_{6}$ —国家一等奖励， $X_{7}$ 一国家二等奖励数量， $X_{8}$ 国家社科基金项目奖一等数量， $X_{9}$ —国家社科基金项目奖二等数量， $X_{10}$ -国家社科基金项目奖三等数量， $X_{11}$ —教育部人文社科奖一等数量， $X_{12}$ —教育部人文社科奖二等数量， $X_{13}$ —教育部人文社科奖三等数量， $X_{14}$ —国家基地总数和国家重点学科(国家重点实验室、国家工程研究中心、人文社科基地数之和)， $X_{15}$ —经费总数(万元)， $X_{16}$ —SCI总数， $X_{17}$ —EI总数， $X_{18}$ —CSCD、 CSSCI总数

表1部分高校某年的18个指标信息

学校	$X_{1}$	$X_{2}$	$X_{3}$	$X_{4}$	$X_{5}$	$X_{6}$	$X_{7}$	$X_{8}$	$X_{9}$	$X_{10}$	$X_{11}$	$X_{12}$	$X_{13}$	$X_{14}$	$X_{15}$	$X_{16}$	$X_{17}$	$X_{18}$
北京大学	967	2212	45	139	10	1	16	4	3	8	4	9	15	99	31954.1	3837	468	4526
中国人民大学	377	1643	16	0	0	0	0	1	4	4	3	7	15	36	3665	23	5	1340
清华大学	578	2990	48	947	177	2	27	0	0	2	2	3	6	61	77163.2	5073	1698	4647
北京交通大学	68	535	0	16	6	1	0	0	0	0	0	0	0	5	11331	282	49	372
北京工业大学	37	429	1	69	17	0	1	0	0	0	0	0	0	2	15126.2	250	31	493
北京航空航天	133	805	8	69	19	0	2	0	0	0	0	0	0	12	47526.05	403	33	1189
北京理工大学	201	757	2	14	8	0	0	0	0	0	0	0	0	12	29713.81	390	200	1035
北京科技大学	80	496	2	130	16	1	2	0	0	0	0	0	1	8	21358.3	668	5	641

(2)数据的归一化处理由于各个指标的取值范围不同，量纲与意义不同，为消除这些影响，需要对数据进行归一化处理。

设共有n个学校，每个学校共有m个指标，采集到的观测数据为： $x_{i j}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)$ ，每个数值显然越大对排名越有利,因此归一化处理方法可采用下式

y_{i j}=\frac{x_{i j}-x_{j m}^{*}}{x_{j M}^{*}-x_{j m}^{*}} \quad(i=1,2, \cdots, n ; j=, 2, \cdots, m)\\ \\ \text { 其中 } x_{j M}^{*}=\max _{1 \leq i \leq n} x_{i j}, \quad x_{j m}^{*}=\min _{1 \leq i \leq n} x_{i j}

经过上面变换,所有数据都变到[0,1],便于后续工作进行统一处理

客观权重确定的三种方法

==熵权法== 设n个学校的m个指标已经归一化处理，数据为 $y_{i j}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)$ 其第 $j$ 项指标的信息熵计算公式为:

\begin{array}{l} E_{j}=-\frac{\sum_{i=1}^{n} p_{i j} \ln p_{i j}}{\ln n} \quad j=1,2, \cdots, m\\ \\ 0 \leq E_{j} \leq 1 \text { 其中 } p_{i j}=\frac{y_{i j}}{\sum_{i=1}^{n} y_{i j}} \text {, 若 } p_{i j}=0 \text {, 则定义 } p_{i j} \ln p_{i j}=0 \text {. } \end{array}

$E_{j}$ 越小，表明数据间差异越大，因此提供的信息越大，该指标权重就越大 $E_{j}$ 越大，表明数据间彼此越接近，因此提供的信息越少，该指标权重就越小

客观权重计算式:

W_{j}=\frac{1-E_{j}}{m-\sum_{j=1}^{m} E_{j}} \quad j=1,2, \cdots, m

==标准离差法== 如果某个指标的标准差大，因此提供的信息越大，该指标权重就越大；反之，某个指标的标准差，,因此提供的信息越少，该指标权重就越小。利用标准差来计算各指标的客观权重，其计算式为

W_{j}=\frac{\sigma_{j}}{\sum_{j=1}^{m} \sigma_{j}} \quad j=1,2, \cdots, m

==CRITIC法确定权重== CRITIC法是Diakoulaki提出的一种客观赋权方法，确定权值以两个基本概念为基础：一是对比度，标准差越大权重相对越大。二是评价指标间的冲突性，当两个指标间有较强的正相关，说明两个指标冲突性低，两个指标反映的信息具有较大的相似性；当两个指标间有较强的负相关，说明两个指标冲突性大，两个指标反映的信息具有较大的不同。

确定第 $j$ 个指标包含的信息量为： $c_{j}=\sigma_{j} \sum_{i=1}^{m}\left(1-r_{i j}\right)(j=1,2, \cdots, m) \quad$

第j个指标权重为: $\quad w_{j}=\frac{c_{j}}{\sum_{i=1}^{m} c_{i}}(j=1,2, \cdots, m)$

综合排名方法

采用(1)式对数据归一化处理后，采用三种不同的客观权重,对各学校的所有指标进行加权平均，可以得到各学校的综合得分，计算式为:

$f_{i}=\sum_{j=1}^{m} w_{j} \cdot y_{i j} \quad(i=1,2, \cdots, n)$ 其中权重 $w_{j}$ 可由 (3)、(4)或 (6) 式计算得到。

表2三种不同排名法得到的前10名高校

名次	熵权法	标准离差法	CRITIC法
1	北京大学	北京大学	北京大学
2	清华大学	清华大学	清华大学
3	复旦大学	浙江大学	复旦大学
4	中国人民大学	复旦大学	浙江大学
5	武汉大学	武汉大学	武汉大学
6	北京师范大学	中国人民大学	中国人民大学
7	浙江大学	北京师范大学	北京师范大学
8	南京大学	南京大学	南京大学
9	吉林大学	吉林大学	吉林大学

从表2所排前10名结果来，不同客观权重确定方法排名结果存在一定差异，这说明排名结果是相对的，跟采用方法有关。从差异大小来看，标准离差法和CRITIC法排名结果更接近。

不同排名结果差异的度量方法

设有两种不同方法得到的排名序列分别为 $B_{1}=(k_{1},k_{2},…,k_{n}),B_{2}=(z_{1},z_{2},…,z_{n})$ 。其中 $k_{1},k_{2},…,k_{n}$ 和 $z_{1},z_{2},…,z_{n}$ 都是1,2,…,n的一个排列, $k_{i}$ 代表第一种排名方法中第i个学校的名次， $z_{i}$ 代表第二种排名方法中第i个学校的名次则第i个学校的名次在两种排名方法中的差异为： $d_{i}=|k_{i}-z_{i}|$ $(i=1,2,…,n)$ 两种排名方法的排名平均差异定义为： $d=\sum_{i=1}^nd_{i}/n$

为反映两种排名方法名次差异的波动程度,采用排名差异构成的序列 $d_{i}(i=12,…,n)$ 的标准差来度量。其计算式如下: $v=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(d_{i}-d\right)^{2} / n}$

表3三种方法的排名差异

方法	(1,2)	(1,3)	(2,3)
平均差异度d	5.1200	4.4400	1.7400
差异度的标准差	5.6089	4.8686	2.3034

其中1代表熵权法,2代表标准偏差法,3代表 CRITIC法。从表3的结果来看，标准偏差法与CRITIC法的排名差异最小，为1.74, 各学校采用这两种方法的排名差异的波动程度也最小，为2.3034。从结果看，标准偏差法和CRITIC法确定的权重排名结果最为接近

Matlab程序univer.m

%采用三种客观权重的方法对高校排名
%1.熵权法,2.标准离差法,3.CRITIC法
load university.txt;
x=university;
[m,n]=size(x);
%m---数据样本数,n---指标数
%数据的标准化
xmin=min(x);
xmax=max(x);
dis=xmax-xmin;
for i=1:n;
x(:,i)=(x(:,i)-xmin(i))/dis(i);
end; %归一化
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%1.熵权法
p=[]; E=[];
for k=1:n
s=sum(x(:,k));
p=x(:,k)/s;
s=0.0;
for i=1:m
if(p(i)>0) s=s+p(i)*log(p(i)); end
end
E(k)=-s/log(m); %获得熵
end;
s=sum(E);
W1=(1-E)/(n-s); %熵权法权重
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%2.标准离差法
au=mean(x); );%均值
sig=std(x);% );%标准差
s=sum(sig);
w2=sig/s; %标准离差法获得的权重
%-----------------------------------------------------------------------------------------
%3.CRITIC法
r=corrcoef(x); %求相关系数
w=[];
for i=1:n
s=0.0;
for j=1:n
s=s+(1.0-r(i,j));
end
w3(i)=sig(i)*s;
end
s=sum(W3);
W3=W3/s; %CRITIC法获得的权重
w=W1; %选取一种权重
wg=100*w; %权重归一化
f=x*wg‘; %计算各学校得分
ff=f;
s=1:m;
for i=1:m-1
for j=i+1:m
if(ff(j)>ff(i))
temp=ff(i); ff(i)=ff(j); ff(j)=temp;
temp=s(i); s(i)=s(j);
s(j)=temp; %s(i)为第i名的学校序号
end
end
end
fid=fopen('result.txt','w');
%输出前20名的: 名次,学校序号,得分
fprintf(fid,' 名次,学校序号,得分\r\n');
for i=1:20
fprintf(fid,'%5d %5d %6.2f\r\n',i,s(i),ff(i));
end
fclose(fid);