本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。 传送门 借此题复习一下中国剩余定理。

题意：

此题可简化成求同余方程的解($a_1...a_n互质$)： $x\ mod\ a_1=b_1$ $x\ mod\ a_2=b_2$ $x\ mod\ a_3=b_3$ ...... $x\ mod\ a_n=b_n$ 直接求出$x$的值不太现实，于是将问题转化为求以下$x_1...x_n$的解： $x_1\ mod\ a_1=b_1$ $x_2\ mod\ a_2=b_2$ $x_3\ mod\ a_3=b_3$ ...... $x_n\ mod\ a_n=b_n$ 而$\sum_{x_1}^{x_n}$就是答案，当然，对于每一个$x_i$，我们还需要制定额外的限制条件，以保证$\sum_{x_1}^{x_n}$可以作为答案： 对于$x_i$，我们需要让它能够整除$a_1$到$a_n$中除$a_i$之外的所有数，即：$x_i$必须要是$(\prod_{j=1}^{n}a_j)/a_i$的倍数并且$x_i\ mod\ a_i=b_i$。 首先设prod为$\prod_{j=1}^{n}a_j$，对于$a_i$，我们来罗列一下它的限制条件：

也就是说，我们要在除了$a_i$之外的所有模数的乘积（即$prod/a_i$）倍数中，找到一个模$a_i$等于$b_i$的数，但在这里我们不选择枚举的方式，而是通过找到$prod/a_i$模$a_i$下的逆元，再乘上模数$b_i$，从而得到$x_i$。 那么，为什么采取这种方式去得到$x_i$？ 首先看一下逆元的定义： 设d为a模b下的逆元，则：$a*d\equiv1(mod\ b)$，即：$a*d\ mod\ b=1$, 此外，要引入一条定理： 若$a_1\ mod\ b=c，且a_2\ mod\ b=c/2$，则$a_1=2*a_2$ 于是，求出逆元$d_i$后，$a_i*d_i\ mod\ b=1$，而$a_i*d_i*b_i\ mod\ b_i=b_i$。 在这题上就是：用$prod/a_i*模b_i的逆元$得到一个$prod/a_i$的倍数且模$b_i$为1的数，再乘上相应的模数$b_i$即可得到一个满足上述限制条件表达式的值。 于是最后的答案就是：$\sum_{x_1}^{x_n}$，而最小的答案为$\sum_{x_1}^{x_n}\ mod\ prod$ 最终答案的表达式为： $x=(\sum_{i=1}^{n}prod/a_i*(prod/a_i)^{-1}*b_i)$，其中$(prod/a_i)^{-1}$为$(prod/a_i)^{-1}$模$b_i$下的逆元。 这题的ac代码： 顺便说一下求逆元要用扩展欧几里得求解，费马小定理要求模数为质数，扩欧只要求互质，即逆元存在。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll a[100010],b[100010];
void exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    ll temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a / b) * y;
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	ll sum = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin>>a[i]>>b[i];
		sum*=a[i];
	}
	ll ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	{
		ll x=0,y=0;
		exgcd(sum/a[i],a[i],x,y);
		ans += sum*b[i]*(x > 0?x:x+a[i]);
		
	}
	cout<<ans%sum<<endl;

}