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大家好呀，我是平衡蛋~
在上一个阶段，我带大家玩转了二叉搜索树，那在这个阶段我来和大家一起搞一下平衡二叉树。
如果你对平衡二叉树一点儿也不了解的话，你可能会感觉我从二叉搜索树转折到平衡二叉树有点生硬。
平衡二叉树怎么来的
在这呢，我就先透漏一下平衡二叉树的半个概念，顺便也是解答上面说的平衡二叉树和二叉搜索树的关系：
其实叭，平衡二叉树也是一棵二叉搜索树。
那现在可能又有一个疑问，为啥有了二叉搜索树还要整出个平衡二叉树？
那就得从盘古开天辟地，呃，从二叉搜索树的一个特殊情况说起...
如果你看过我二叉搜索树的实战文章，在分析递归题解时间复杂度的时候我一般会说：xx 大小取决于二叉搜索树的高度，二叉搜索树最坏情况下的高度为 n。
问题就出在这个高度为 n 上。
比如对于序列 root = [1,2,3,4]，正常情况下，我们构造的应该是下面这样的：
但总有不正常的时候，比如在老年痴呆的的情况下构造出的二叉搜索树可能是下面这样的：
你看这像啥样子，好好一棵二叉搜索树非得 cos 个”单链表“。
这就造成了，本来我查找一个节点的时间复杂度度是 O(logn)，现在硬生生的成了 O(n)。
比如我正常情况下找 4 这个节点，找 2 次就够，而在 cos 情况下，我得找 4 次，这种现象就是二叉搜索树的退化。
从上面两张不同二叉搜索树的图可以看出，树的高度决定了它的查找效率，那我们是不是可以这么考虑：当树的高度最小时，就能够保证树的查找效率。
连我都能考虑出来的东西，显然大佬们早就解决了，当然了也没很早，也就区区...60 年叭~
1962 年，两个数学家 AV + L 提出了平衡二叉树的概念。
哎呀妈呀，终于套上了，至于平衡二叉树到底是个什么东西，我们下...面分解。
平衡二叉树
我在上一节中说了平衡二叉树的半个概念，现在来把它补充完整。
平衡二叉树，是一种二叉排序树，其中对于每个节点的左右子树高度相差小于等于 1。
后半句点出了平衡二叉树中”平衡“的实际指向，即”高度平衡“！
把二叉树左右子树的高度看成是左右子树的重量，把这两个重量放在天平上，尽可能保证这个天平是平衡的。
那怎么确定什么程度是”尽可能的平衡“呢？这里就引出一个概念：平衡因子（BF，Balance Factor）。
它的计算公式：平衡因子 = 左子树的高度 - 右子树的高度。
那对于平衡二叉树来说，它概念中”每个节点的左右子树高度相差小于等于 1“，这么来看，平衡二叉树的平衡因子只可能是 1，0，-1。
也可以这么说，只要你的平衡因子的绝对值 > 1，那你就不是平衡二叉树。
由此，我们在判断一棵二叉树是不是平衡二叉树，2 个条件：
- 这棵二叉树是二叉搜索树。
- 这棵二叉树的每个节点的 BF 绝对值 < 1。
比如下图：
这就不是一棵平衡二叉树，它首先就不满足条件 1：是一棵二叉搜索树。
比如下图：
这也不是一棵平衡二叉树，它虽然满足条件 1 是一棵二叉搜索树，但是不满足条件 2，对于节点 3 来说，它的 BF = 2。
比如下图：
这就是一棵平衡二叉树，它同时满足条件 1 和条件 2。
平衡二叉树就通过这种“尽可能的平衡”，让树的高度保持在 logn，这是相对最小的树高，也正因为是维持了这个树高，对于一棵有 N 个节点的平衡二叉树来说，它每一个操作的时间复杂度都可以维持在 O(logn) 。
对于平衡二叉树的操作主要有 3 种：
- 查找操作
- 插入操作
- 删除操作
查找操作我就不在这多说了，和二叉搜索树的查找一个套路。
下面我重点来讲下平衡二叉树的插入和删除操作，这个一定要仔细看，重点看！
插入操作
对于一棵平衡二叉树来说，插入一个新的节点可能会让平衡二叉树【失衡】。
比如对于下面这棵平衡二叉树：
当插入节点 7 的时候，成了下面这样：
此时节点 5 的 BF = -2，这就造成了平衡二叉树的失衡。
这里就会产生一个概念，叫做【最小不平衡子树】，即距离插入节点最近的，且平衡因子绝对值大于 1 的节点为根的子树。
在上图中，距离插入节点 7 最近的 BF 的绝对值大于 1 的节点就是节点 5，所以以节点 5 为根节点的二叉树就是最小不平衡子树。
那平衡二叉树失衡了，就要想办法让它重新平衡，这种失衡的调整主要就是通过调整最小不平衡子树来实现重新平衡。
这里的调整靠的是【旋转】，通过旋转让二叉树重新成为新的平衡二叉树。
根据旋转的方向不同，主要分为 2 种：
- 左旋
- 右旋
左旋
左旋操作主要是把最小不平衡子树的右孩子作为根进行旋转操作，具体步骤为：
- “根节点的右孩子”作为“新的根节点”
- “根节点的右孩子的左子树”（如果有）变为“根节点的右子树”
- “根节点”变为“根节点的右孩子”的左子树
可能看着比较绕...
比如对于下图：
最小不平衡子树的根节点为 5，根节点的右孩子为 6，根节点的右孩子的左子树为 null，所以经过左旋，变成了下面的样子：
右旋
与左旋对称的就是右旋，右旋是把最小不平衡子树的左孩子作为根进行旋转操作，具体步骤为：
- “根节点的左孩子“作为“新的根节点”
- ”根节点的左孩子的右子树“（如果有）变为”根节点的左子树“
- “根节点”变为“根节点的左孩子”的右子树
比如对于下图：
最小不平衡子树的根节点为 3，根节点的左孩子为 2，根节点的左孩子的右子树为 null，所以经过右旋，变成了下面这个样子：
不同插入节点的方式的不同旋转
对于平衡二叉树的节点 node 来说，有 4 种插入方式：
- 插入左孩子的左子树（LL 型）
- 插入右孩子的右子树（RR 型）
- 插入左孩子的右子树（LR 型）
- 插入右孩子的左子树（RL 型）
这些插入方式可能会造成 node 的 BF 绝对值大于 1，从而打破了原平衡二叉树的平衡。
针对这些不同的插入方式有着不同的旋转办法，下面我们一一来看。
LL 型失衡
针对插入左孩子的左子树失衡，只需要执行一次【右旋】即可。
插入节点 1，造成失衡，这时候最小不平衡子树的根节点为 3，直接进行一次右旋操作。
RR 型失衡
对于针对插入右孩子的右子树失衡，只需要执行一次【左旋】即可。
插入节点 7，造成失衡，这个时候最小不平衡子树的根节点为 5，直接进行一次左旋操作。
LR 型失衡
插入左孩子的右子树失衡，这就不是 1 步能解决的事了...
这个时候需要 2 步：
- 对最小不平衡子树根节点的左孩子左旋
- 最小不平衡子树右旋
插入节点 2，造成失衡，最小不平衡子树的根节点为 3。
第 1 步，此时最小不平衡子树根节点的左孩子为节点 1，将以节点 1 为根节点的子树左旋。
第 2 步，将最小不平衡子树右旋。
RL 型失衡
当然，插入右孩子的左子树失衡，也不是 1 步能解决的事，同样也需要 2 步：
- 对最小不平衡子树根节点的右孩子右旋
- 最小不平衡子树左旋
插入节点 6，造成失衡，最小不平衡子树的根节点为 5。
第 1 步，此时最小不平衡子树根节点的右孩子为节点 7，将以节点 7 为根节点的子树右旋。
第 2 步，将最小不平衡子树左旋。
那这 4 种情况我是都讲完了，情况就是这么些情况，说麻烦其实也不麻烦，就是绕点儿。
趁看到现在还明白点，赶紧自己动手画几遍。
删除操作
对于一棵平衡二叉树来说，它的删除情况和二叉搜索树一样，同样是分 3 种情况：
- 删除节点为叶子节点
- 删除的节点只有左子树或者右子树
- 删除的节点既有左子树又有右子树。
稍微有点区别的是删除完节点后，重新判断一下是否依然平衡，如果失衡，旋转操作就走起来。
这里需要注意的是，删除节点以后，可能存在多个不平衡的节点。
平衡二叉树因为删除节点判断失衡，我们可以换一种想法来理解：
- 删除的是左子树的节点，那左子树的高度 -1，这可以想成，左子树高度不变，右子树高度 +1，即相当于在右子树插入了一个新的节点。
- 同理，删除的是右子树的节点，那右子树的高度 -1，这也可以想成，右子树高度不变，左子树高度 + 1，相当于在左子树上插入了一个新的节点。
下面我简单介绍一下 3 种情况，至于更细节的内容我们在后面的实战文章中继续。
情况 1：删除节点为二叉树的叶子节点
第 1 步 删除：
通过平衡二叉树的查找操作找到节点，然后直接删掉就好了。
第 2 步 旋转：
从删除节点的父节点开始判断是否失衡，如果失衡，则判断是 LL、RR、LR、RL 中的哪种失衡，根据上面讲的调整方式进行旋转。
如果不失衡，就继续向父节点的父节点继续判断...
情况 2 ：删除的节点只有左子树或者右子树
第 1 步 删除：
直接用删除节点的父节点指向它的子树即可。
第 2 步 旋转：
从删除节点的父节点开始判断是否失衡，如果失衡，则判断是 LL、RR、LR、RL 中的哪种失衡，根据上面讲的调整方式进行旋转。
如果不失衡，就继续向父节点的父节点继续判断...
情况 3：删除的节点既有左子树又有右子树
第 1 步 删除：
这个就稍微复杂点了，就是将要删除节点 node 位置上替换成左子树最右边的节点或者右子树最左边的节点。
即左子树的最大值或者右子树的最小值。
第 2 步 旋转：
删除以后的调整操作，还是与情况一和情况二的旋转操作一样调整。
平衡二叉树入门基础到这就讲完啦，哎呀妈呀，感觉写了好久，肩膀都写硬了...
平衡二叉树这玩意怎么说呢，看着挺难的，实际就是稍微复杂点，就是一步一步的拆出来看，就还好。
相信我在文章中已经讲的很明白了，认真看完的同学一定看懂了，如果你要说你没看懂，那...就再看一遍~
接下来就是通过实战题来巩固啦~
我是帅蛋，我们下次见啦！
