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一、题目描述 LeetCode - 300 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。
子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。
示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

二、解题思路

本题要求计算出数组中最长的严格递增子序列长度，可以对数组中的元素进行删除。本题可以使用动态规划解决，定义以为数组dp来保存中间状态，dp[i]表示以nums[i]结尾的最长严格递增子序列长度，包括nums[i]。在计算dp[i]时我们需要知道dp[x](0 <= x <= i-1)。所以状态转移方程为dp[i] = max(dp[x])+1，其中 0 <= x <= i-1 并且nums[i] > nums[x]。
在计算每个个dp[i]时，都需要遍历已经完成的dp数组，找出其中数值最大并且nums[i]>nums[x]的子序列长度，将其加1，再赋值给dp[i]。

三、代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0){
            return 0;
        }
        int n = nums.length;
        int max = 1;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for (int i=1; i<n; i++){
            dp[i] = 1;
            for (int j=0; j<i; j++){
                if (nums[i] > nums[j]){
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            max = Math.max(max, dp[i]);
        }
        return max;
    }
}

四、总结

本题使用动态规划，创建一维数组保存中间状态，通过双重循环完成数组的填充，最终得出结果。时间复杂度为O(n^2)，其中n为原始数组nums的长度，空间复杂度为O(n)，既创建的一维数组长度为n。