本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

懒得打字了，直接贴图上来。其实还有别的方法，但是我觉得没有我这个简单快速直观。下面是问题描述：

问题

在一个2维赋范线性空间中，给定一个直角坐标系，两个向量$\bold{a}$,$\bold{b}$，坐标分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$。

定义内积操作 $\bold{a} \cdot \bold{b}= x_1x_2+y_1y_2$。

证明：$\bold{a} \cdot \bold{b}= |\bold{a}||\bold{b}|\cos\theta$, $\theta$是两个向量的夹角。

证明

只需要旋转一下坐标系，重新算一下两个向量的坐标值，那么利用内积定义，即可证明出：

旋转以后，显然，利用三角函数定理，可以看出，新的向量 $\bold{a}^{'}$,$\bold{b}^{'}$，坐标分别为$(|\bold{a}|\cos\theta,\bold{a}\sin\theta)$和$(|\bold{b}|, 0)$。因为旋转以后内积不变，再利用内积定义，即可得出。

题外话

这里有几个知识点：

线性空间，向量空间，内积，长度，距离，坐标系，坐标系旋转，基，赋范线性空间，内积，相似性。

这些都是基础知识，除了熟练掌握，要深刻理解起来，并非易事。

最近在研究双曲空间，发现不容易理解透。对于计算机选手，非数学系的，如果讨论的空间变得复杂了，比如双曲空间中，很容易就迷失了方向。所以还是得从基础构建起来。

题题外话

接着上次说要研究双曲空间，然后看不懂，主要是理解太不深入，而且很多东西看得过于慢了。所以跑去学拓扑学，b站一个上交的老师讲的挺好，于是看了几节课。帮助还挺大的，不过还有很多没有学，最近一个月都废了，没有坚持下去。。。。