力扣每日一题0820-654. 最大二叉树

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给定一个不重复的整数数组 nums 。 最大二叉树 可以用下面的算法从 nums 递归地构建:

• 创建一个根节点，其值为 nums 中的最大值。
• 递归地在最大值 左边 的 子数组前缀上 构建左子树。
• 递归地在最大值 右边 的 子数组后缀上 构建右子树。

返回 nums 构建的 最大二叉树 。

示例 1：

**输入：nums = [3,2,1,6,0,5]
输出：[6,3,5,null,2,0,null,null,1]
解释：递归调用如下所示：
- [3,2,1,6,0,5] 中的最大值是 6 ，左边部分是 [3,2,1] ，右边部分是 [0,5] 。
    - [3,2,1] 中的最大值是 3 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [2,1] 。
        - 空数组，无子节点。
        - [2,1] 中的最大值是 2 ，左边部分是 [] ，右边部分是 [1] 。
            - 空数组，无子节点。
            - 只有一个元素，所以子节点是一个值为 1 的节点。
    - [0,5] 中的最大值是 5 ，左边部分是 [0] ，右边部分是 [] 。
        - 只有一个元素，所以子节点是一个值为 0 的节点。
        - 空数组，无子节点。**

递归

最简单的方法是直接按照题目描述进行模拟。

我们用递归函数 $\text{construct}(\textit{nums}, \textit{left}, \textit{right})$ 表示对数组 $\textit{nums}$ 中从 $\textit{nums}[\textit{left}]$ 到 $\textit{nums}[\textit{right}]$ 的元素构建一棵树。我们首先找到这一区间中的最大值，记为 $\textit{nums}$ 中从 $\textit{nums}[\textit{best}]$，这样就确定了根节点的值。随后我们就可以进行递归：

• 左子树为 $\text{construct}(\textit{nums}, \textit{left}, \textit{best}-1)$；
• 右子树为 $\text{construct}(\textit{nums}, \textit{best}+1, \textit{right})$。

var constructMaximumBinaryTree = function(nums) {
    const construct = (nums, left, right) => {
        if (left > right) {
            return null;
        }
        let best = left;
        for (let i = left + 1; i <= right; ++i) {
            if (nums[i] > nums[best]) {
                best = i;
            }
        }
        const node = new TreeNode(nums[best]);
        node.left = construct(nums, left, best - 1);
        node.right = construct(nums, best + 1, right);
        return node;
    }
    return construct(nums, 0, nums.length - 1);
};

单调栈

我们可以将题目中构造树的过程等价转换为下面的构造过程：

• 初始时，我们只有一个根节点，其中存储了整个数组；
• 在每一步操作中，我们可以「任选」一个存储了超过一个数的节点，找出其中的最大值并存储在该节点。最大值左侧的数组部分下放到该节点的左子节点，右侧的数组部分下放到该节点的右子节点；
• 如果所有的节点都恰好存储了一个数，那么构造结束。

由于最终构造出的是一棵树，因此无需按照题目的要求「递归」地进行构造，而是每次可以「任选」一个节点进行构造。这里可以类比一棵树的「深度优先搜索」和「广度优先搜索」，二者都可以起到遍历整棵树的效果。

既然可以任意进行选择，那么我们不妨每次选择数组中最大值最大 的那个节点进行构造。这样一来，我们就可以保证按照数组中元素降序排序的顺序依次构造每个节点。因此：

当我们选择的节点中数组的最大值为 $\textit{nums}[i]$ 时，所有大于 $\textit{nums}[i]$ 的元素已经被构造过（即被单独放入某一个节点中），所有小于 $\textit{nums}[i]$ 的元素还没有被构造过。

这就说明：

在最终构造出的树上，以 $\textit{nums}[i]$ 为根节点的子树，在原数组中对应的区间，左边界为 $\textit{nums}[i]$ 左侧第一个比它大的元素所在的位置，右边界为 $\textit{nums}[i]$ 右侧第一个比它大的元素所在的位置。左右边界均为开边界。

如果某一侧边界不存在，则那一侧边界为数组的边界。如果两侧边界均不存在，说明其为最大值，即根节点。

并且：

$\textit{nums}[i]$的父结点是两个边界中较小的那个元素对应的节点。

var constructMaximumBinaryTree = function(nums) {
    const n = nums.length;
    const stack = [];
    const left = new Array(n).fill(-1);
    const right = new Array(n).fill(-1);
    const tree = new Array(n).fill(-1);
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        tree[i] = new TreeNode(nums[i]);
        while (stack.length && nums[i] > nums[stack[stack.length - 1]]) {
            right[stack.pop()] = i;
        }
        if (stack.length) {
            left[i] = stack[stack.length - 1];
        }
        stack.push(i);
    }

    let root = null;
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        if (left[i] === -1 && right[i] === -1) {
            root = tree[i];
        } else if (right[i] === -1 || (left[i] !== -1 && nums[left[i]] < nums[right[i]])) {
            tree[left[i]].right = tree[i];
        } else {
            tree[right[i]].left = tree[i];
        }
    }
    return root;
};