最长公共子序列

力扣：1143. 最长公共子序列 - 力扣（LeetCode）
给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列，返回 0 。
一个字符串的子序列是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
两个字符串的公共子序列是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。
提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。本题和动态规划：最⻓重复⼦数组区别在于这⾥不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的⼦序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的⼦序列。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：⻓度为[0, i - 1]的字符串text1与⻓度为[0, j - 1]的字符串text2的最⻓公共⼦序列为dp[i][j] 有朋友会问：为什么要定义⻓度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为⻓度为[0, i]的字符串text1不⾹么？这样定义是为了后⾯代码实现⽅便，如果⾮要定义为为⻓度为[0, i]的字符串text1也可以，⼤家可以试⼀试！

2. 确定递推公式

主要就是两⼤情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了⼀个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最⻓公共⼦序列和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最⻓公共⼦序列，取最⼤的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]); 代码如下：

                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1))
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3. dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最⻓公共⼦序列⾃然是0，所以dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统⼀初始为0。

4. 确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个⽅向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个⽅向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5. 举例推导dp数组

最后答案为:dp[text1.length][text2.length]; 分析完毕Java代码如下：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int l = text1.length();
        int L = text2.length();
        int[][] dp = new int[l + 1][L + 1];
        for(int i = 1; i <= l; i++)
            for(int j = 1; j <= L; j++)
                if(text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1))
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                else
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        return dp[l][L];
    }    
}

动态规划子序列问题04：最长公共子序列