数据结构->二叉树

Arrom
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二叉树

二叉树是一种树形结构，其特点是每个结点至多只有两棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点)，并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉树的5种基本形态如图所示

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几种常见的二叉树

斜树

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所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树

满二叉树

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一棵高度为h，且含有2^h-1个结点的二叉树称为满二叉树，即树中的每层都含有最多的结点。满二叉树的叶子结点都集中在二叉树的最下一层，并且除叶子结点之外的每个结点度数均为2。

可以对满二叉树按层序编号:约定编号从根结点(根结点编号为1)起，自上而下，自左向右。这样，每个结点对应一个编号,对于编号为i的结点，若有双亲，则其双亲为i/2,若有左孩子，则左孩子为2i;若有右孩子，则右孩子为2i+1

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完全二叉树

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高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树

特点：

  • 若i≤n/2, 则结点i为分支结点，否则为叶子结点。
  • 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
  • 若有度为1的结点，则只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
  • 按层序编号后，一旦出现某结点(编号为i ii)为叶子结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶子结点。
  • 若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子;若n为偶数，则编号最大的分支结点(编号为n/2)只有左孩子，没有右孩子，其余分支结点左、右孩子都有。

二叉树的存储结构

顺序存储

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二叉树的顺序存储是指用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i ii的结点元素存储在一维数组下标为i−1的分量中。

完全二叉树和满二叉树采用顺序存储比较合适，树中结点的序号可以唯一地反映结点之间的逻辑关系，这样既能最大可能地节省存储空间，又能利用数组元素的下标值确定结点在二叉树中的位置，以及结点之间的关系。

链式存储

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二叉树每个结点最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法，我们称这样的链表叫做二叉链表。

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data是数据域，lchild 和rchild都是指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

二叉树的遍历

前序（DLR）

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void PreOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
            visit(T);//访问根节点
            PreOrder(T->lchild);//递归遍历左子树
            PreOrder(T->rchild);//递归遍历右子树
	}
}
中序（LDR）

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void InOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
            InOrder(T->lchild);//递归遍历左子树
            visit(T);//访问根结点
            InOrder(T->rchild);//递归遍历右子树
	}
}
后序（LRD）

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void PostOrder(BiTree T){
	if(T != NULL){
            PostOrder(T->lchild);//递归遍历左子树
            PostOrder(T->rchild);//递归遍历右子树
            visit(T);//访问根结点
	}
}

三种遍历算法中,递归遍历左、右子树的顺序都是固定的，只是访问根结点的顺序不同。不管采用哪种遍历算法，每个结点都访问一次且仅访问一次，故时间复杂度都是O(n)。在递归遍历中，递归工作栈的栈深恰好为树的深度，所以在最坏情况下，二叉树是有n个结点且深度为n的单支树，遍历算法的空间复杂度为O(n)。

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