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一、题目描述 LeetCode - 309

给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）: 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3 
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]

示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

二、解题思路

本题要求计算出买卖股票所得的最大利润，我们可以使用动态规划来解决，既维护每一天结束后所得的最大利润。以此来进行状态转移。由于卖出股票后第二天无法在进行买入操作，所以我们会得到三种不同的状态：

• 持有一支股票，最大收拾为dp[i][0]；
• 不持有股票，且不处于冷冻期，最大收益为dp[i][1]；
• 不持有股票。且处于冷冻期，最大收益为dp[i][2]； 其中dp[i]表示第i天接束后的状态。

1. 对于dp[i][0]，既第i天结束后持有一支股票的最大收益。股票可能是i-1天已经持有的，也可能是第i天买入的，如果是第i天买入的则说明第i-1天结束后不持有股票且不处于冷冻期，所以dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i])
2. 对于dp[i][1]，既第i天结束后不持有股票，且不处于冷冻期。则说明当天既没有买入股票也没有卖出股票，且在第i-1天结束后也不持有股票，则dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][2])
3. 对于dp[i][2]，既第i天结束后不持有股票，且处于冷冻期。则说明第i天买出了股票，且第i-1天拥有一支股票，dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][0] + prices[i])

三、代码

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices.length == 0){
            return 0;
        }
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][3];
        dp[0][0] = -prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        dp[0][2] = 0;
        for (int i=1; i<prices.length; i++){
            dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]-prices[i]);
            dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-2][2]);
        }
        return Math.max(dp[n-1][1], dp[n-1][2]);
    }
}

四、总结

本题实用动态规律化，通过对前一天的状态转移从而得到后一天的状态，最终得到最大的收益。时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)。