LeetCode 378 - 有序矩阵中第 K 小的元素

给你一个 n x n 矩阵 matrix ，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。 请注意，它是 排序后 的第 k 小元素，而不是第 k 个 不同 的元素。

你必须找到一个内存复杂度优于 O(n2) 的解决方案。

  示例 1：

输入：matrix = [[1,5,9],[10,11,13],[12,13,15]], k = 8 输出：13

解释：矩阵中的元素为 [1,5,9,10,11,12,13,13,15]，第 8 小元素是 13

示例 2：

输入：matrix = [[-5]], k = 1 输出：-5  

提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 300
• -109 <= matrix[i][j] <= 109
• 题目数据 保证 matrix 中的所有行和列都按 非递减顺序 排列
• 1 <= k <= n2  

进阶：

你能否用一个恒定的内存(即 O(1) 内存复杂度)来解决这个问题? 你能在 O(n) 的时间复杂度下解决这个问题吗?这个方法对于面试来说可能太超前了，但是你会发现阅读这篇文章（ this paper ）很有趣。

思路

• 找出二维矩阵中最小的数 left，最大的数 right，那么第 k 小的数必定在 left ~ right 之间。
• mid=(left+right) >> 1。在二维矩阵中寻找小于等于 mid 的元素个数 count。
• 若这个 count 小于 k，表明第 k 小的数在右半部分且不包含 mid，即 left=mid+1, right=right，保证了第 k 小的数在 left ~ right 之间。
• 若这个 count 大于 k，表明第 k 小的数在左半部分且可能包含 mid，即 left=left, right=mid，保证了第 k 小的数在 left right 之间
• 因为每次循环中都保证了第 k 小的数在 right 之间，当 left==right 时，第 k 小的数即被找出，等于 left。

class Solution {
    public int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
        int length = matrix.length;
        int left = matrix[0][0];
        int right = matrix[length - 1][length - 1];
        while (left < right) {
            // 每次循环都保证第K小的数在left~right之间，当left==right，第k小的数就是left
            int mid = (left + right) >> 1;
            // 找二维矩阵中<=mid的元素总个数
            int count = checkCount(matrix, mid, length);
            if (count < k) {
                // 第k小的数在右半部分，且不包含mid
                left = mid + 1;
            } else {
                // 第k小的数在左半部分，可能包含mid
                right = mid;
            }
        }
        return right;
    }

    private int checkCount(int[][] matrix, int mid ,int length) {
        // 以左下角开始找，找到每一列最后一个<=mid的数即知道每一列有多少个数<=mid
        int col = 0;
        int row = length -1;

        
        int count = 0;
        while (row >= 0 && col < length) {
            if (matrix[row][col] <= mid) {
                // 第col列有row+1个元素<=mid
                count += row + 1;
                col++;
            } else {
                // matrix[row][col]大于mid，需要继续往上找
                row--;
            }
        }
        return count;
    }
}