本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。 需要提前了解的知识：KMP, 字典树 由于类比了kmp算法，建议大家可以看一下我的kmp教程，以便于理解kmp(详解)
简介 AC自动机是KMP和trie的结合体。KMP算法适用于单模式串的匹配，而AC自动机适合多模式串的匹配。例如：在一篇文章中我们找一句话可以用KMP，找多句话适用于AC自动机。并且可以这么认为，KMP是AC自动机的特殊情况。
实现AC自动机
算法思路
我们先是用模式串构建了trie树，以单词she, shr, say, her作为例子
这就是我们构建的trie树了。
在kmp算法中我们构建了一个nex数组（查询表），通过查询表，在我们每次失配的情况下快速移动模式串，从而避免了大量的不必要的比较。
nex[i]的含义以p[i]j结尾的后缀，能够匹配的从1开始非平凡前缀的最大坐标。在AC自动机中的含义也是同样的。
那么我们可以故技重施，为AC自动机也构建一个查询表，在AC自动机中叫失配指针。
同时，在KMP中，初始值nex[0] = nex[1] = 0, 另外如果我们需要求出nex[i]，则需要用到nex[0]-nex[i-1],在AC自动机中，如果我们需要求出第i层点的nex值，则需要使用到i-1层（包括）前面的nex值。
由于每次向下求一层的nex，所以用bfs。
举个nex指针的例子：
红色代表nex指向，（其中只花了部分点的nex）
以下是构建kmp中nex数组大的代码
void getNex(char p[], int lenp)
{
for(int i = 2, j = 0; i <= lenp; i++)
{
while(j && p[i] != p[j+1]) j = nex[j];
if(p[i] == p[j+1] ) j++;
nex[i] = j;
}
}
分析： 每次循环都是求出nex[i]。同时由于每次i++， 所以每次循环中 j == nex[i-1],
类比代码
void bulid()
{
int hh = 0, tt = -1;
//第一层和第二层的nex值已经确定
//所以直接将第二层节点的孩子加入队列中就行
//ps:以26个英文字母为例
for(int i = 0; i <26; i++)
if(tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while(hh <= tt)
{
int t = q[hh++];
for(int i = 0; i < 26; i++)
{
int c = tr[t][i];//相当于kmp的i
if(!c) continue;
int j = nex[t];
while(j && !tr[j][i]) j = nex[j];//当j没有i字母的孩子
if(tr[j][i]) j = tr[j][i];
nex[c] = j;
q[++tt] = c;//将c加入队列
}
}
}
匹配过程
以下是kmp算法的匹配过程
void kmp(char t[], char p[], int lent,int lenp)
{
for(int i = 1, j = 0; i <= lent; i++)
{
while(j && t[i] != p[j+1]) j = nex[j];
if(t[i] == p[j+1]) j++;
if(j == lenp)
{
printf("%d\n", i - lenp + 1);//匹配成功的位置
j = nex[j];
}
}
}
同样类比于kmp的匹配过程，我们同样可以得出AC自动机的匹配过程
//tr中已经储存了需要查询的模式串
//str是文本串
//cnt记录每个点的单词数
//我们需要找到有多少个模式串在文本串中出现过
for(int i = 0, j = 0; str[i]; i++)
{
int t = str[i] - 'a';
while(j && !tr[j][t]) j = nex[j];
if(tr[j][t]) j = tr[j][t];
int p = j;
//while循环下面解释
while(p)
{
res += cnt[p];
cnt[p] = 0;
p = nex[p];
}
}
这段代码所匹配的是以str[i]为结尾的最长后缀，我们假设文本串为qwher,模式串为he, whe。那么当str[i]为e的时候，我们所匹配的是whe这个模式串，但是由于he是whe的后缀，he也应当出现在文本串中，所以我们需要加上whe的e的nex指针指向的点。
但由于while循环的出现，在比较坏的情况下我们难以接近线性复杂度，而是趋近于o（n^2）的复杂度， 因此我们需要对此优化。也就是优化成为trie图
如何优化成为trie图
消耗时间的部分主要是这一行代码
while(j && !tr[j][t]) j = nex[j];
由于不断的向上跳入nex，知道j的下一个字符是t。 那么我们的优化思路是这样的，更改trie，使得我们可以一次跳跃就到达我们想要的位置。
在匹配的过程中，如果当前匹配的字符是t， 在trie中的字符是j， 如果j存在t这个儿子，那么我们就直接跳到j的这个儿子上。 但是 如果不存在这样的一个儿子，那么我们就会不断地j = nex[j]，直到j存在这样一个儿子或者跳j 等于 0。 所以我们得到这样的一个策略，当字符t不存在i这个节点时，在trie图中t指向nex[t]的i这个儿子，从而达到当匹配过程中不存在这个儿子时可以直接跳到存在这个儿子的最大后缀中去。 当存在这个儿子时仍只需让这个儿子的nex值为tr[nex[t][i]。 因此得到以下代码
void bulid()
{
int hh = 0, tt = -1;
//第一层和第二层的nex值已经确定
//所以直接将第二层节点的孩子加入队列中就行
for(int i = 0; i <26; i++)
if(tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while(hh <= tt)
{
int t = q[hh++];
for(int i = 0; i < 26; i++)
{
int p = tr[t][i];
if(!p) tr[t][i] = tr[nex[t]][i];//如果不存在这个儿子
else//如果存在这个儿子
{
nex[p] = tr[nex[t]][i];
q[++tt] = p;
}
}
}
}
同时匹配过程也就可以直接去掉while循环
for(int i = 0, j = 0; str[i]; i++)
{
int t = str[i] - 'a';
j = tr[j][t];
int p = j;
while(p)
{
res += cnt[p];
cnt[p] = 0;
p = nex[p];
}
}
然后外加一道例题和解析 传送门
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 1e6 + 10;
const int N = 128;
int n;
int tr[M][N], nex[M], cnt[M];
int q[M], hh , tt = -1;
char str[M];
int idx, res;
bool st[M];
void Insert()
{
int p = 0;
for(int i = 0; str[i]; i++)
{
int t = str[i];
if(!tr[p][t]) tr[p][t] = ++idx;
p = tr[p][t];
}
cnt[p]++;
}
void init()
{
memset(tr, 0, sizeof tr);
memset(nex, 0, sizeof nex);
memset(cnt, 0, sizeof cnt);
idx = res = 0;
}
void bulid()
{
int hh = 0, tt = -1;
//第一层和第二层的nex值已经确定
//所以直接将第二层节点的孩子加入队列中就行
for(int i = 0; i < N; i++)
if(tr[0][i]) q[++tt] = tr[0][i];
while(hh <= tt)
{
int t = q[hh++];
for(int i = 0; i < N; i++)
{
int p = tr[t][i];
if(!p) tr[t][i] = tr[nex[t]][i];//如果不存在这个儿子
else//如果存在这个儿子
{
nex[p] = tr[nex[t]][i];
q[++tt] = p;
}
}
}
}
int main()
{
init();
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%s", str);
Insert();
}
bulid();
scanf("%s", str);
for(int i = 0, j = 0; str[i]; i++)
{
int t = str[i];
j = tr[j][t];
int p = j;
//在访问过一次p后，下一次就没有必要访问了，否则会重复计算，浪费时间。
while(p && st[p] == 0)
{
st[p] = 1;
res += cnt[p];
cnt[p] = 0;
p = nex[p];
}
}
printf("%d\n", res);
return 0;
}
