AcWing 873. 欧拉函数

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AcWing 873. 欧拉函数

给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数 nn。

接下来 nn 行，每行包含一个正整数 aiai。

输出格式

输出共 nn 行，每行输出一个正整数 aiai 的欧拉函数。

数据范围

1≤n≤1001≤n≤100,
1≤ai≤2×1091≤ai≤2×109

输入样例：

3
3
6
8

输出样例：

2
2
4

欧拉函数的定义

欧拉函数

对于正整数n,欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目，记作φ(n).φ(1)=1\

求n的欧拉值

首先， 欧拉函数是一个积性函数，当m,n互质时，φ(mn)=φ(m)∗φ(n) 根据唯一分解定理知 n=pa11∗pa22∗…∗paxxn=p1a1∗p2a2∗…∗pxax 因此 φ(n)=φ(pa11)∗…∗φ(paxx)φ(n)=φ(p1a1)∗…∗φ(pxax) 对于任意一项 φ(pass)=pass−p(as−1)sφ(psas)=psas−ps(as−1) 从定义出发 φ(pass)φ(psas)等于小于或等于passpsas的正整数中与passpsas互质的数的数目

从11到passpsas中共有passpsas个数字

其中与passpsas不互质的有ps,2ps,…,psas−1∗psps,2ps,…,psas−1∗ps ,共psas−1psas−1项

所以 φ(pass)φ(psas) = passpsas - psas−1=pass∗(1−1ps)psas−1=psas∗(1−1ps) 因此

求欧拉函数模板

int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}
```
#### ac代码
```
#include <iostream>
using namespace std;
int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ ){
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }   
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- ){
        int x;
        cin >> x;
        cout << phi(x) << endl;
    }
    return 0;
}
```