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题目
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例 1
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
示例 2
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
提示
0 <= k <= 1000 <= prices.length <= 10000 <= prices[i] <= 1000
题解
思路
状态机模型DP。
求最多买卖k次没交集（下一次买入前必须先卖出上一次的股票）的股票的最大利润。
当k ≥ a.length >> 1时，参考“122. 买卖股票的最佳时机 II”。
状态表示：
f(i, j) 表示在前i天卖完第j支股票时所获得的最大利润。
c(i, j) 表示在前i天已买但没卖的第j支股票时所获得的最大利润。
状态计算：
f(i, j) = max{f(i - 1, j), c(i - 1, j) + a[i]}
c(i, j) = max{c(i - 1, j), f(i - 1, j - 1) - a[i]}
max{f(1, 1), f(1, 2), ... , f(i, j)}
决策：
在第i天不卖或卖第j支股票：
不卖，即f(i, j) = f(i - 1, j) 。
卖，即f(i, j) = c(i - 1, j) + a[i] 。
在第i天不买或买第j支股票：
不买，即c(i, j) = c(i - 1, j) 。
买，即c(i, j) = f(i - 1, j - 1) - a[i] 。
f(i, 0) 都为0（i ∈ [0, a.length]），表示在前i天卖完第0支股票时所获得的最大利润都为0，虽然无意义，但在c(i, j) = f(i - 1, j - 1) - a[i] 时需要用到f(i, 0) 。
如：当i = 2，j = 1时，c(i, j) = f(i - 1, j - 1) - a[i] = c(2, 1) = f(1, 0) - a[1] = -a[1] ，而当i = 3，j = 1且f(i - 1, j) < c(i - 1, j) + a[i] 时，f(i, j) = c(i - 1, j) + a[i] = f(3, 1) = c(2, 1) + a[2] = a[2] - a[1] 。
时间复杂度：O(n * k) ；空间复杂度O(n * k) 。
代码
class Solution {
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
int n = prices.length, res = 0;
if (k >= n >> 1) {
for (int i = 1; i < n; ++i) {
if (prices[i - 1] < prices[i])
res += prices[i] - prices[i - 1];
}
return res;
}
int[][] dp = new int[n + 1][k + 1], c = new int[dp.length][dp[0].length];
final int INF = -0x3f3f3f3f;
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
c[i][0] = INF;
}
for (int i = 0; i <= k; ++i) {
dp[0][i] = c[0][i] = INF;
}
dp[0][0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= k; ++j) {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], c[i - 1][j] + prices[i - 1]);
c[i][j] = Math.max(c[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1] - prices[i - 1]);
res = Math.max(res, dp[i][j]);
}
}
return res;
}
}
结语
业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。
