图解最大二叉树(分治)

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大家好,我是帅蛋。

今天解决最大二叉树,这是一道构造二叉树的题,只不过是按照题目的规则来构造。

我们之前做过【前 + 中 -> 二叉树】、【中 +后 -> 二叉树】,最大二叉树也大抵如此,这种问题本身还是考察对二叉树遍历的掌握程度。

654-0

LeetCode 654:最大二叉树

题意

不重复的整数数组 nums。最大二叉树可以用下面的算法从 nums 递归地构建:

创建一个根节点,其值为 nums 中地最大值。

递归地在最大值左边地子数组前缀上构建左子树。

递归地在最大值右边地子数组后缀上构建右子树。

返回 nums 构建地最大二叉树。

示例

输入:nums = [3,2,1,6,0,5] 输出:[6,3,5,null,2,0,null,null,1]

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提示

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • 0 <= nums[i] <= 1000
  • nums 中的所有整数互不相同

题目解析

最大二叉树这道题 LeetCode 定义难度为中等。呃,说实话,我没搞明白难度在哪,我感觉就是道简单题。

至于解法我就不卖关子了,这是一道极其典型的使用分治算法求解的题目。

如果还不了解分治算法,可以先看下面这篇文章:

ACM 选手带你玩转分治算法!

分治算法由“分”和“治”两部分组成,但是它主要包括 3 个过程

  • 划分(Divide)
  • 求解(Conquer)
  • 合并(Combine)

其中:

划分(Divide) :将原问题划分为规模较小的子问题,子问题相互独立,与原问题形式相同。

求解(Conquer) :递归的求解划分之后的子问题。

合并(Combine) :这一步非必须。有些问题涉及合并子问题的解,将子问题的解合并成原问题的解。有的问题则不需要,只是求出子问题的解即可。

654-7

说白了就是先找找拆分到最小规模问题时怎么解,然后再瞅瞅随着问题规模增大点问题怎么解,最后就是找到递归函数,码出递归代码即可

在本题中,其实只需要前两步:划分和求解。

(1) 划分

划分就是拆解到问题的最小规模。

在本问题中拆解是个很简单的事,每次找到区间里的最大值,最大值左边为左子树,右边为右子树(其实就是拆成了两个区间)。

然后左子树和右子树还是按照同样的方式拆解,直至拆成最小规模的问题,即区间内没有数为止。

但是你仔细品,上面找最大值构造根节点,然后再左子树,最后右子树的形式你有没有觉得很熟?

这不就是前序遍历的方式嘛,又破案了...

(2) 求解

递归的求解划分之后的子问题。

最小的情况就是,当右边界 > 左边界,即区间内没有数了,也就结束了。

图解

以 nums = [3,2,1,6,0,5] 为例。

首先初始化当前 nums 最大值所在的下标 maxIndex = 0,start = 0,end = len(nums) = 6。

654-2

# 初始化最大值下标
maxIndex = start

第 1 步,找到当前 nums 的最大值的下标 maxIndex = 3。

654-3

# 找到最大值的下标
for i in range(start + 1, end):
    if nums[i] > nums[maxIndex]:
        maxIndex = i

当前最大值下标对应的就是最大值,即最大二叉树的根节点的值,此时创建根节点。

654-4

# 构建根节点
root = TreeNode(nums[maxIndex])

此时就区分出了左子树(即左区间)和右子树(即右区间),左区间的范围为[0,3),右区间的范围为[4, 6)。

654-5

接下来就还是按照上面的方式,对左子树和右子树进行操作。

# 递归左子树
root.left = self.maxBinaryTree(nums, start, maxIndex)
# 递归右子树
root.right = self.maxBinaryTree(nums, maxIndex + 1, end)

直至分无可分。

# 区间内没有数字,返回 None
if start == end:
    return None

最终最大二叉树就成了下图的样子。

654-6

对于本题解,最坏情况下数组为单调数组,此时递归 n 次,每次递归查找最大值的时间复杂度为 O(n),即总的时间复杂度为 O(n^2)

此外递归过程中调用了额外的栈空间,栈的大小取决于二叉树的高度,二叉树最坏情况下的高度为 n,所以空间复杂度为 O(n)

代码实现

Python 代码实现

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
#         self.val = val
#         self.left = left
#         self.right = right
class Solution:
    def maxBinaryTree(self, nums:List[int], start, end):
        # 区间内没有数字,返回 None
        if start == end:
            return None
        # 初始化最大值下标
        maxIndex = start
        # 找到最大值的下标
        for i in range(start + 1, end):
            if nums[i] > nums[maxIndex]:
                maxIndex = i
​
        # 构建根节点
        root = TreeNode(nums[maxIndex])
​
        # 递归左子树
        root.left = self.maxBinaryTree(nums, start, maxIndex)
        # 递归右子树
        root.right = self.maxBinaryTree(nums, maxIndex + 1, end)
​
        return root
​
    def constructMaximumBinaryTree(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
        return self.maxBinaryTree(nums, 0, len(nums))

Java 代码实现

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
​
    public TreeNode maxBinaryTree(int[] nums, int start, int end){
        // 区间内没有数字,返回 None
        if(start == end){
            return null;
        }
        // 初始化最大值下标
        int maxIndex = start;
        // 找到最大值的下标
        for(int i = start + 1; i < end; i ++){
            if(nums[i] > nums[maxIndex]){
                maxIndex = i;
            }
        }
        // 构建根节点
        TreeNode root = new TreeNode(nums[maxIndex]);
        // 递归左子树
        root.left = maxBinaryTree(nums, start, maxIndex);
        // 递归右子树
        root.right = maxBinaryTree(nums, maxIndex + 1, end);
​
        return root;
        
    }
​
    public TreeNode constructMaximumBinaryTree(int[] nums) {
        return  maxBinaryTree(nums, 0, nums.length);
    }
}

图解最大二叉树到这就结束辣,是不是就是道简单题,没骗你们叭?

但是你没觉得很有意思么?我们用的分治算法,用着用着,这不又是个前序遍历的方式嘛!

真是有意思的二叉树!

希望大家能多多思考,做题的时候不要做完了就算了。

我是帅蛋,我们下次见咯~