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文章目录
1、思想
DE是由Rainer Storn 和 Kenneth Price于1995年提出的一种比较经典的进化算法，是一种新型并行直接搜索算法，每一代G中都利用NP个参数向量（个体）作为种群，在优化过程中NP是保持不变的。如果没有掌握一些系统的先验知识，通常初始种群是随机选择的，一般来说，除非另有说明，否则将对所有随机决策假定一个均匀的概率分布，在得到初步解后，通常通过在名义解 x ‾ nom , 0 \underline{x}_{\text {nom }, 0} xnom ,0上加上正太分布的随机偏差来生成初始种群。DE背后的关键思想是一种生成试验参数向量的新方案，其将两个种群个体的差向量加权后再与第三个成员相加，然后就得到了新的参数向量。如果得到的向量的目标函数值低于（最小化问题）种群中的个体，则用新生成的向量替换与之比较的向量。此外，还对每一代G中的最优参数向量 X ‾ best , G \underline{\mathrm{X}}_{\text {best }, \mathrm{G}} Xbest ,G进行评估，以追踪最小化进程。
从种群中提取距离和方向信息，产生随机偏差结果，该自适应方案具有良好的收敛性能。下面介绍两种最具潜力的DE变体。
2、方案DE1
变异
第一种DE变体的工作原理如下：对于每一个 x ‾ i , G , i = 0 , 1 , 2 , … , N P − 1 \underline{x}_{i, G}, i=0,1,2, \ldots, N P-1 xi,G,i=0,1,2,…,NP−1，根据下式生成试验向量：
v ‾ = x ‾ r 1 , G + F ⋅ ( x ‾ r 2 , G − x ‾ r 3 , G ) (1) \underline{\mathrm{v}}=\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{1}, \mathrm{G}}+\mathrm{F} \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{2}, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{3}, \mathrm{G}}\right)\tag {1} v=xr1,G+F⋅(xr2,G−xr3,G)(1)
其中 r 1 , r 2 , r 3 ∈ [ 0 , N P − 1 ] \mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3} \in[0, \mathrm{NP}-1] r1,r2,r3∈[0,NP−1]，均为整数且互不相同， F > 0 F>0 F>0。这一步相当于变异操作。
r 1 , r 2 , r 3 \mathrm{r}_{1}, \mathrm{r}_{2}, \mathrm{r}_{3} r1,r2,r3为从 [ 0 , N P − 1 ] [0,NP-1] [0,NP−1]中随机选择的整数，之所以是 N P − 1 NP-1 NP−1，是因为这里所以是从0开始的，所以最后一个个体的索引是 N P − 1 NP-1 NP−1, F F F为实值常数因子，控制差分变化 ( x ‾ r 2 , G − x ‾ r 3 , G ) \left(\underline{\mathbf{x}}_{\mathbf{r}_{2}, \mathbf{G}}-\underline{\mathbf{x}}_{\mathbf{r}_{3}, \mathbf{G}}\right) (xr2,G−xr3,G)的放大率。图1以一个二维示例说明了不同向量再DE1中的作用。
图1 按照DE1生成v的过程
交叉
为了增加参数向量的多样性，构造如下向量：
u ‾ = ( u 1 , u 2 , … , u D ) T (2) \underline{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{u}_{1}, \mathrm{u}_{2}, \ldots, \mathrm{u}_{\mathrm{D}}\right)^{\mathrm{T}}\tag{2} u=(u1,u2,…,uD)T(2)
u j = { v j for j = ⟨ n ⟩ D , ⟨ n + 1 ⟩ D , … , ⟨ n + L − 1 ⟩ D ( x ‾ i , G ) j otherwise (3) u_{j}=\left\{\begin{array}{ll} v_{j} & \text { for } \quad j=\langle n\rangle_{D},\langle n+1\rangle_{D}, \ldots,\langle n+L-1\rangle_{D} \\ \left(\underline{x}_{i, G}\right)_{j} & \text { otherwise } \end{array}\right.\tag{3} uj={vj(xi,G)j for j=⟨n⟩D,⟨n+1⟩D,…,⟨n+L−1⟩D otherwise (3)
其中尖括号 ⟨ ⟩ D \langle\rangle_{D} ⟨⟩D表示模为 D D D的模函数。
式(3)说明 u ‾ \underline{\mathrm{u}} u中某一向量元素序列等于 v ‾ \underline{\mathrm{v}} v中的元素，而 u ‾ \underline{\mathrm{u}} u中的其他元素使用 x ‾ i , G \underline{x}_{i, G} xi,G中的原始值。为这种变异选择一组参数的过程类似于进化理论中交叉。图2解释了这一点，其中D=7，n=2,L=3。D为问题维度，起始索引 n n n式从 [ 0 , D − 1 ] [0,D-1] [0,D−1]内随机选择的整数， L L L以交叉概率 C r Cr Cr从 [ 0 , D − 1 ] [0,D-1] [0,D−1]内随机选择, L L L按以下方式确定， C r Cr Cr作用同 F F F，用于控制DE。对于每一个试验向量，都要随机生成新的 n n n和 L L L。
L = 0 ; D O { L = L + 1 ; } WHILE ( ( r a n d ( 0 , 1 ) ≤ C r ) A N D ( L ≤ D ) ) \begin{aligned} L &=0 ; \mathrm{DO} \\ &\{\\ L &=L+1 ; \\ &\} \text { WHILE }((r a n d(0,1) \leq C r) \mathrm{AND}(L \leq D)) \end{aligned} LL=0;DO{=L+1;} WHILE ((rand(0,1)≤Cr)AND(L≤D))
图2 交叉过程
所以从每个元素的角度就看，则可以得到以下公式：
u j , i , G = { v j , i , G if ( rand i , j [ 0 , 1 ] ≤ Cr or j = j rand ) x j , i , G otherwise (4) u_{j, i, G}=\left\{\begin{array}{ll} v_{j, i, G} & \text { if }\left(\text {rand}_{i, j}[0,1] \leq \text {Cr or } j=j_{\text {rand}}\right) \\ x_{j, i, G} & \text { otherwise } \end{array}\right.\tag{4} uj,i,G={vj,i,Gxj,i,G if (randi,j[0,1]≤Cr or j=jrand) otherwise (4)
其中 rand i , j [ 0 , 1 ] \text {rand}_{i, j}[0,1] randi,j[0,1]为均匀分布随机数，该值需要在第 i i i个参数向量的每个维度上都重新调用， j rand ∈ [ 1 , 2 , . . . , D ] j_{\text {rand}}\in [1,2,...,D] jrand∈[1,2,...,D]为随机选择的索引，以保证 u u u中至少有一个元素取自 v v v，对于每一代中的米格向量，只需要实例化此值一次。
选择
为了保证种群大小不变，这一步叫做“选择”，以确定试验向量或目标向量是否存活到下一代，即
x ‾ i , G + 1 = u ‾ if f ( u ‾ ) ≤ f ( x ‾ i , G ) = x ‾ i , G if f ( u ‾ ) > f ( x ‾ i , G ) (5) \begin{aligned} \underline{\mathrm{x}}_{i, G+1}&=\underline{\mathrm{u}} & \text { if } f\left(\underline{\mathrm{u}}\right) \leq f\left(\underline{\mathrm{x}}_{i, G}\right) \\ & =\underline{\mathrm{x}}_{i, G} & \text { if } f\left(\underline{\mathrm{u}}\right)>f\left(\underline{\mathrm{x}}_{i, G}\right) \end{aligned}\tag{5} xi,G+1=u=xi,G if f(u)≤f(xi,G) if f(u)>f(xi,G)(5)
其中 f ( ) f() f()为待最小化的目标函数，因此新的试验向量产生了相等或更小的目标函数，则替换掉对应的目标向量，否则就保留目标向量至下一代。
算法伪代码
图3 算法伪代码
3、方案DE2
DE2和DE1思想基本一致，只不过在变异时稍有不同：
v ‾ = x ‾ i , G + λ ⋅ ( x ‾ best , G − x ‾ i , G ) + F ⋅ ( x ‾ r 2 , G − x ‾ r 3 , G ) (6) \underline{\mathrm{v}}=\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}, \mathrm{G}}+\lambda \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\text {best }, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{i}, \mathrm{G}}\right)+\mathrm{F} \cdot\left(\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{2}, \mathrm{G}}-\underline{\mathrm{x}}_{\mathrm{r}_{3}, \mathrm{G}}\right)\tag{6} v=xi,G+λ⋅(xbest ,G−xi,G)+F⋅(xr2,G−xr3,G)(6)
(6)中引入了一个额外的控制参数 λ \lambda λ，其思想是提供一种通过结合当前最优向量 x ‾ best \underline{\mathrm{x}}_{\text {best }} xbest 的方式，来增强该方案的贪婪性。图4说明了DE2的向量生成过程。
图4 DE2生成v的过程
4、 源代码
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