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题目

给你一个整数 $n$，请你判断该整数是否是 $2$ 的幂次方。如果是，返回 true；否则，返回 false。

如果存在一个整数 $x$ 使得 $n == 2^{x}$，则认为 $n$ 是 $2$ 的幂次方。

示例 1：

• 输入：n = 1
• 输出：true
• 解释：$2^{0}$ = 1

示例 2：

• 输入：n = 16
• 输出：true
• 解释：$2^{4}$ = 16

示例 3：

• 输入：n = 3
• 输出：false

示例 4：

• 输入：n = 4
• 输出：true

方法一：二进制表示

思路及解法

一个数 $n$ 是 2 的幂，当且仅当 $n$ 是正整数，并且 $n$ 的二进制表示中仅包含 1 个 1。

因此我们可以考虑使用位运算，将 $n$ 的二进制表示中最低位的那个 1 提取出来，再判断剩余的数值是否为 0 即可。下面介绍两种常见的与「二进制表示中最低位」相关的位运算技巧。

第一个技巧是

\texttt{n & (n - 1)}

其中 $\texttt{\&}$ 表示按位与运算。该位运算技巧可以直接将 $n$ 二进制表示的最低位 $1$ 移除，它的原理如下：

假设 $n$ 的二进制表示为 $(a 10\cdots 0)_2$，其中 $a$ 表示若干个高位，$1$ 表示最低位的那个 1，$0⋯0$ 表示后面的若干个 $0$，那么 $n−1$ 的二进制表示为：

$(a01⋯1)_2$

我们将 $(a 10\cdots 0)_2$ 与 $(a 01\cdots1)_2$ 进行按位与运算，高位 $a$ 不变，在这之后的所有位都会变为 $0$，这样我们就将最低位的那个 $1$ 移除了。

因此，如果 $n$ 是正整数并且 \texttt{n & (n - 1) = 0}，那么 $n$ 就是 $2$ 的幂。

​第二个技巧是

\texttt{n & (-n)}

其中 $-n$ 是 $n$ 的相反数，是一个负数。该位运算技巧可以直接获取 $n$ 二进制表示的最低位的 $1$。

由于负数是按照补码规则在计算机中存储的，$-n$ 的二进制表示为 $n$ 的二进制表示的每一位取反再加上 $1$，因此它的原理如下：

假设 $n$ 的二进制表示为 $(a 10\cdots 0)_2$，其中 $a$ 表示若干个高位，$1$ 表示最低位的那个 $1$，$0\cdots 0$ 表示后面的若干个 $0$，那么 $-n$ 的二进制表示为：

$(a 01\cdots1)_2 + (1)_2 = (a 10\cdots0)_2$

其中 $\bar{a}$ 表示将 $a$ 每一位取反。我们将 $(a 10\cdots 0)_2$ 与 $(\bar{a} 10\cdots0)_2$ 进行按位与运算，高位全部变为 $0$，最低位的 $1$ 以及之后的所有 $0$ 不变，这样我们就获取了 $n$ 二进制表示的最低位的 $1$。

因此，如果 $n$ 是正整数并且 \texttt{n & (-n) = n}，那么 $n$ 就是 $2$ 的幂。

代码

class Solution {
    func isPowerOfTwo(_ n: Int) -> Bool {
        return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0
    }
}

class Solution {
    func isPowerOfTwo(_ n: Int) -> Bool {
        return n > 0 && (n & -n) == n
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：判断是否为最大 2 的幂的约数

思路及解法

除了使用二进制表示判断之外，还有一种较为取巧的做法。

在题目给定的 $32$ 位有符号整数的范围内，最大的 $2$ 的幂为 $2^{30} = 1073741824$。我们只需要判断 $n$ 是否是 $2^{30}$ 的约数即可。

代码

class Solution {
    func isPowerOfTwo(_ n: Int) -> Bool {
        let BIG = 1 << 30
        return n > 0 && BIG % n == 0
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。