题目介绍
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分析
相信大家对数学归纳法都不陌生，高中就学过，而且思路很简单。比如我们想证明一个数学结论，那么我们先假设这个结论在k < n时成立，然后根据这个假设，想办法推导证明出k = n的时候此结论也成立。如果能够证明出来，那么就说明这个结论对于k等于任何数都成立。
类似的，我们设计动态规划算法，不是需要一个 dp 数组吗？我们可以假设dp[0...i-1]都已经被算出来了，然后问自己：怎么通过这些结果算出dp[i]？
直接拿最长递增子序列这个问题举例你就明白了。不过，首先要定义清楚 dp 数组的含义，即dp[i]的值到底代表着什么？
我们的定义是这样的：dp[i]表示以nums[i]这个数结尾的最长递增子序列的长度。
根据这个定义，我们就可以推出 base case：dp[i]初始值为 1，因为以nums[i]结尾的最长递增子序列起码要包含它自己。
举两个例子：
根据这个定义，我们的最终结果（子序列的最大长度）应该是 dp 数组中的最大值。
int res = 0;
for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
res = Math.max(res, dp[i]);
}
return res;
读者也许会问，刚才的算法演进过程中每个dp[i]的结果是我们肉眼看出来的，我们应该怎么设计算法逻辑来正确计算每个dp[i]呢？
这就是动态规划的重头戏，如何设计算法逻辑进行状态转移，才能正确运行呢？这里需要使用数学归纳的思想：
假设我们已经知道了dp[0..4]的所有结果，我们如何通过这些已知结果推出dp[5]呢？
根据刚才我们对dp数组的定义，现在想求dp[5]的值，也就是想求以nums[5]为结尾的最长递增子序列。
nums[5] = 3，既然是递增子序列，我们只要找到前面那些结尾比 3 小的子序列，然后把 3 接到这些子序列末尾，就可以形成一个新的递增子序列，而且这个新的子序列长度加一。
nums[5]前面有哪些元素小于nums[5]？这个好算，用 for 循环比较一波就能把这些元素找出来。
以这些元素为结尾的最长递增子序列的长度是多少？回顾一下我们对dp数组的定义，它记录的正是以每个元素为末尾的最长递增子序列的长度。
以我们举的例子来说，nums[0]和nums[4]都是小于nums[5]的，然后对比dp[0]和dp[4]的值，我们让nums[5]和更长的递增子序列结合，得出dp[5] = 3：
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
当i = 5时，这段代码的逻辑就可以算出dp[5]。其实到这里，这道算法题我们就基本做完了。
读者也许会问，我们刚才只是算了dp[5]呀，dp[4],dp[3]这些怎么算呢？类似数学归纳法，你已经可以算出dp[5]了，其他的就都可以算出来：
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
// 寻找 nums[0..j-1] 中比 nums[i] 小的元素
if (nums[i] > nums[j]) {
// 把 nums[i] 接在后面，即可形成长度为 dp[j] + 1，
// 且以 nums[i] 为结尾的递增子序列
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
结合我们刚才说的 base case，下面我们看一下完整代码：
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.IOException;
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) throws IOException{
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int n = sc.nextInt();
int[] nums = new int[n];
int res = 0;
//初始化数组
for(int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = sc.nextInt();
}
int[] dp = new int[n];
//初始化dp数组
Arrays.fill(dp, 1);
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < i; j++) {
if(nums[i] > nums[j]) {
//更新dp[i]的值
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
}
}
//更新最大递增子序列的个数
res = Math.max(res, dp[i]);
}
System.out.println(res);
}
}
