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题单名称

【算法1-4】递推与递归

P1044 [NOIP2003 普及组] 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列， $1,2,\ldots ,n$ （图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$ 。

现在可以进行两种操作，

将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$ ，计算并输出由操作数序列 $1,2,\ldots,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$ （ $1 \leq n \leq 18$ ）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

思路

dp数组中i代表栈内元素，j代表待进栈的元素（注意已经出栈的元素不能再退栈

那么我们很自然的就想到，当j = 0 的时候情况为1，这就是边界条件dp[i][0] = 1 情况唯一，依次出栈

那么状态转移的过程就是压栈和出栈，写成方程就是 dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + dp[i-1][j]

这里要注意，i=0时只能压栈不能出栈，因为i=0的时候代表栈空，此时方程要改为 dp[0][j] = dp[1][j-1]

到此分析结束

代码

// P1044 [NOIP2003 普及组] 栈
// dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + dp[i-1][j] 压栈 + 出栈
// dp[i][0] = 1 情况唯一，依次出栈
// dp[0][j] = dp[1][j-1] 压栈
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int dp[20][20] = {0};
    int n;
    cin >> n;
    for(int j=0; j<=n; j++){
        for(int i=0; i<=n; i++){
            // 这里需要解释为什么先枚举j后枚举i
            // 因为dp的状态要根据上一个状态而来
            // 原本dp数组都是0，0是初始化的状态不能直接被引用
            // 下面三个情况里，只看第一个和第二个两个状态转移的情况
            // 将dp数组视作矩阵，那么(i,j)坐标都依靠左下(i+1,j+1)和上(i-1,j)这两个状态
            // 因此我们要以列序优先，保证左下能够满足必定是更新过的状态，而不是初始化值
            if(j==0) dp[i][j] = 1;  
            else if(i>=1) dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + dp[i-1][j]; 
            else  dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
        }
    }
    cout << dp[0][n];
    return 0;
}

洛谷题单【算法1-4】递推与递归——P1044