【数据结构】数组与广义表-特殊矩阵的存储（图解）

URLeisure
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提示：以下是本篇文章正文内容，下面案例可供参考

特殊矩阵的压缩存储

  • 在很多科学工程计算问题中，经常遇到一些特殊的矩阵，这些矩阵的很多值是相同的，有的很多元素是 0，为了节省空间，可以对这类矩阵进行压缩存储。
  • 压缩存储：给多个相同的元素分配一个存储空间，元素为 0 的不分配空间。
  • 可压缩矩阵：对称矩阵、三角矩阵、对角矩阵、稀疏矩阵等。

特殊矩阵的压缩存储方式

对称矩阵

  • 对角矩阵，其元素沿着对角线对称，即 aij = aji。

对称矩阵

  • 因为上三角和下三角是一样的，因此只储存其中的一个。

  • 如果用一维数组存储下（上）三角，则只需要 n(n+1)/2（n代表行数，计算参照求等差数列前n项和）个空间。比全部存储需要的n^2^个空间少了很多。

  • 在上图中，如果只存储其下三角，就将其按行序存储在一维数组 s[ ] 中（下标从 0 开始），如图。

在这里插入图片描述

如何寻找 aij 的存储位置？

  • 首先，查看存储 aij 前，已经存储了多少个元素。

实例

  • s[ ] 数组的下标从零开始，则 aij 的下标就是 i(i-1)/2 + j - 1。

  • 上三角的元素( i < j )，根据对称性，aij = aji，可以直接读取下三角中 aji ( i , j 颠倒)。

  • 因此可得出，按行序存储对称矩阵时，aij 的下标为：

公式1

  • 如果用一维数组 s[] 存储（下标从 0 开始），则 aij 的存储下标 k = aij 前面的元素个数。

  • aij 的存储地址：LOC(aij) = LOC(a11) + k × L。

三角矩阵

  • 三角矩阵分为下三角矩阵和上三角矩阵，下三角矩阵是指矩阵的下三角有数据，而其余的都是常数 c 或者为 0.

三角矩阵

  • 三角矩阵存储时，只需要存储其下三角中的元素，最后一个空间存储常数 c 即可。如果常数都是 0，则不需要存储。 s

如何寻找 aij 的存储位置？

  • 下三角矩阵与对称矩阵的下三角寻找方式相同。

下三角矩阵

  • 上三角矩阵，如图。

下三角矩阵

  • 从图可以求出，aij前共有 i - 1行的所有元素 + j - i个元素。

  • 由等差数列公式可得 k = {(i - 1)(2n - i +2)} / 2 + j - i。

公式

对角矩阵

  • 对角矩阵又称为带状矩阵，是指在n × n的矩阵中非零元素集中在主对角线（红色虚线）及其两侧，共L（奇数）条对角线的带状区域内，称为L对角矩阵，如图。

对角矩阵

  • 此为5对角矩阵。

  • L对角矩阵的带宽为L，半带宽 d = (L - 1) / 2。

  • 当| i - j | > d 时，aij = 0，为对角矩阵的带状区域外元素；当 | i - j | ≤ d时，aij ≠ 0，为对角矩阵的带状区域内元素。

计算 L 对角矩阵一共有多少个非零元素。 补零

  • 如图，将每一行以对角线为中心补零，使每行都达到L个元素。通过等差数列计算得左上角补零个数为 d(d + 1)/2。

  • 因此，一共补了 d(d + 1) 个零。所以，带状区域元素个数为 L × n - d(d + 1)。

  • 因为 d = (L - 1)/2，所以也可以表达为 ( 2d + 1) × n - d(d + 1)。

对角矩阵的存储方式有两种：

  1. 按行存储
  2. 按对角线存储

寻找 aij 的存储位置。

按行存储

  • 首先找到 aii 的存储位置，aii 是对角线上的元素，以对角线为中心，左右两侧都是 d 个元素。如图。 在这里插入图片描述

  • aii 的存储位置为 （i - 1）× L + d - d。（除了第一行，每行 L 个元素。第一行没存那 d 个零，要减掉）

  • 所以，aij 的存储位置为 （i - 1）× L + j - i。

  • 无论 aij 在 aii 左边还是右边，公式都一样。

  • 按行序，用一维数组（下标从 0 开始）存储 L 对角矩阵，aij 的存储位置为：

在这里插入图片描述

按对角线存储

对角线

  • 存储时，仍然采用“掐头去尾”，开头和结尾的 0 不存储。

在这里插入图片描述

  • 先找 ai`j的存储位置.

  • 其之前有 i` + d 行，每行有 n 个元素，其左侧有 j - 1 个元素，因为最前面的 d 个零没有存储。

  • 所以，存储位置为（i`+ d）× n + j - 1 - d。

  • 其中 i` = i - j 。

aij 的存储位置为：

在这里插入图片描述

稀疏矩阵

  • 稀疏矩阵是指非零元素个数较少，且分布没有规律可言的矩阵。

  • 一般认为非零元素小于 5% 时，属于稀疏矩阵。当然也没有那么绝对，只要非零元素个数远远小于矩阵元素个数，就可以认为是稀疏矩阵。如图。

稀疏矩阵

存储方式：

  • 为了节省空间，只需记录每个非零元素的行、列和数值即可，这就是三元存储法，如图。

在这里插入图片描述

广义表

  • 广义表是线性表的推广，也称为列表。

  • 它是 n（n ≥ 0）个表元素组成的有限序列，记作 LS = （a0 , a1 , a2 , ... , an-1）。

  • LS是表名，ai 是表元素，它可以是表（称为子表），也可以是数据元素（称为原子）。n 为表的长度，n = 0 的广义表为空表。

广义表最常见的操作就是求表头和表尾。

  1. 表头 GetHead(L)：非空广义表的第一个元素，可以是一个单元素，也可以是一个子表。
  2. 表尾 GetTail(L)：删除表头元素后，余下的元素所构成的表。表尾一定是一个表

  • 例如，D = （a , (b) , (a, (b,c,d) ) ），表长为 3，表头为 a，表尾为 ( (b) , (a, (b,c,d) ) ）。

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下期预告：螺旋矩阵的实现

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