携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第16天，点击查看活动详情
题目
给你一个整数数组 nums ，请你找出数组中乘积最大的非空连续子数组（该子数组中至少包含一个数字），并返回该子数组所对应的乘积。
测试用例的答案是一个 32-位 整数。
子数组 是数组的连续子序列。
示例 1
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。
示例 2
输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 不是子数组。
提示
- 1 <= nums.length <= 2 * 104
- -10 <= nums[i] <= 10
- nums 的任何前缀或后缀的乘积都 保证 是一个 32-位 整数
题解
思路
根据最大子数组和的思路，我们可以假设 dp[i] 代表处理到 nums[i] 的乘积最大子数组和 易得:
dp[i] = max(dp[i-1]*nums[i] , nums[i])
但仔细想想，这个递推公式其实是有问题的，或者说我们忽略了一种情况，故它不符合动态规划的最优子结构要求
我们来分析一下 :
上述公式的含义是: 处理第 i 个位置时乘积最大子数组的值等于第 i-1 个位置的乘积最大子数组的值乘以当前位置的值 或 直接等于当前位置的值。取二者值较大的一方
但是这忽略了一种情况 : 累乘不像累加，每一次的变化仅与当前位置的值有关，累乘有负负得正，即当前的最小值可能在下一次累乘时变为最大值，故正确（或完整）的递推公式还应该添加上该条件 ： 第 i-1 个位置乘积的最小子数组的值 乘以当前位置的值。并比较这三者取值最大的一个
故递推公式实际上为 :
dp[i] = max(dp[i-1] * nums[i] , min[i-1] * nums[i] , nums[i])
其中，min[i] 代表处理第 i 个位置时乘积最小子数组的值
上述递推公式中添加了 min[i] ， 不过它的分析与 dp[i] 相同，易得 : min[i] = min(dp[i-1] * nums[i] , min[i-1] * nums[i] , nums[i])
最后，为了对称美观，我们将 dp[i] 写成 max[i] 可得:
max[i] = max(max[i-1] * nums[i] , min[i-1] * nums[i] , nums[i]); min[i] = min(max[i-1] * nums[i] , min[i-1] * nums[i] , nums[i]);
代码
public int maxProduct(int[] nums) {
int len = nums.length;
int[]max = new int[len]; // max[i] 代表第 i 个位置的连续最大乘积
int[]min = new int[len]; // min[i] 代表第 i 个位置的连续最小乘积
max[0] = nums[0];
min[0] = nums[0];
// 状态转移方程要深入思考后得到
for (int i = 1; i < len; i++) {
int n = nums[i];
max[i] = Math.max(n,Math.max(n*max[i-1] , n*min[i-1]));
min[i] = Math.min(n,Math.min(n*max[i-1] , n*min[i-1]));
}
// 常规操作
int ans = max[0];
for (int i = 0; i < len; i++) {
ans = Math.max(ans,max[i]);
}
return ans;
}
结语
业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。
