携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第29天，点击查看活动详情
AcWing 870. 约数个数
给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10^9+7 取模。
输入格式
第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10^9+7 取模。
数据范围
1 ≤ n ≤ 100
1 ≤ ai ≤ 2 × 10^9
输入样例：
3
2
6
8
输出样例：
12
思路
约数个数定理
约数，又称因数。整数a除以整数b(b≠0) 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。a称为b的倍数，b称为a的约数。在大学之前，"约数"一词所指的一般只限于正约数。约数和倍数都是二元关系的概念，不能孤立地说某个整数是约数或倍数。一个整数的约数是有限的。同时，它可以在特定情况下成为公约数。
题意为这些数的乘积的约数个数 即为2 * 6 * 8 = 96的约数个数
约数推导
由算数基本定理可知，对于一个大于1的正整数N可以分解质因数
质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。
只有一个质因子的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式2，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。
例如 6 的 质因子是 2 和 3
约数的个数 ans = 2 * 2 = 4 是 1 2 3 6
定理证明
约数个数模板
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int main(){
int n;
cin >> n;
unordered_map<int, int> primes;
while (n -- ){
int x;
cin >> x;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
while (x % i == 0){
x /= i;
primes[i] ++ ;
}
if (x > 1) primes[x] ++ ;
}
LL res = 1;
for (auto p : primes) res = res * (p.second + 1) % mod;
cout << res << endl;
return 0;
}
