AcWing 872. 最大公约数

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AcWing 872. 最大公约数

给定 n 对正整数 ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数对 ai,bi。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1 ≤ n ≤ 10^5,
1 ≤ ai,bi ≤ 2 × 10^9

输入样例：

2
3 6
4 6

输出样例：

3
2

思路

求两个正整数 a 和 b 的 最大公约数 d
则有 gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
证明：
设a%b = a - kb 其中k = a/b(向下取整)
若d是(a,b)的公约数 则知 d|a 且 d|b 则易知 d|a-kb 故d也是(b,a%b) 的公约数
若d是(b,a%b)的公约数 则知 d|b 且 d|a-kb 则 d|a-kb+k*b = d|a 故而d|b 故而 d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)的公约数集合和(b,a%b)的公约数集合相同 所以他们的最大公约数也相同

欧几里得算法模板

int gcd(int a, int b){
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

stl代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a,b;
int main() {
    cin >> n;
    while(n--){
        cin >> a >> b;
        cout << __gcd(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}

欧几里得算法(辗转相除法)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x,int y){
    if(x % y == 0)return y;
    return gcd(y,x % y); 
    //可以简写成 return y ? gcd(y, x % y) : x;
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    while(n--){
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        cout << gcd(x,y) << endl;
    }
    return 0;
}

更相减损法

int gcd(int a, int b){//更相减损 扩展
    while(a != b)
        if(a > b)
            a -= b;
        else
            b -= a;
    return a;
}

位运算

int gcd(int a, int b){
    while(b ^= a ^= b ^= a %= b);    
    return a;
}

超快运算

int gcd(int a, int b){//超快
    if(!a || !b)
        return max(a, b);
    for(int t; t = a % b; a = b, b = t);
    return b;
}