最小路径和：leetcode-64

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最小路径和

给定一个包含非负整数的 m * n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明： 每次只能向下或者向右移动一步。

示例：

输入：

[
  [1, 3, 1],
  [1, 5, 1],
  [4, 2, 1]
]

输出：7

解释：因为路径 1 -> 3 -> 1 -> 1 -> 1 的总和最小

题解：

我们在遇到这样的统计可行路径的数量，或者求最小路径的时候，比较容易想到的两种做法：一个是搜索，另一个是动态规划。

而搜索的做法，仅仅在数据规模比较小的时候才考虑使用，所以在这里，我们尝试采用动态规划来解决这个问题。

动态规划法

动态规划算法，我们需要关注以下两点：

1. 状态的设置：在本题中，由于要求最小路径和，我们可以令 dp[i][j] 代表从 (0, 0) 走到 (i, j) 的最小路径和
2. 状态转移方程：我们考虑如何来求出 dp[i][j]。由于每次只能往右或者往下走，所以只能从 (i-1, j)、(i, j-1) 到达 (i, j)，所以我们在这两者中取最小，然后在加上 (i, j) 位置的数即可

代码实现：

var minPathSum = function(grid) {
  if(grid.length === 0) return 0;
  let dp = []; // 保存从(0,0)到当前位置的权重，是一个二维数组
  let m = grid.length; // 行
  let n = grid[0].length; // 列
  // 初始化二维数组
  for(let i=0; i<m; i++) dp[i] = [];
  
  for(let i=0; i<m; i++) {
    for(let j=0; j<n; j++) {
      // 遍历每一个位置
      if(i === 0 && j === 0) { // (0, 0) 的权重为自身的数
        dp[i][j] = grid[i][j];
        continue;
      }
      if(i === 0 && j !== 0) {
        // 当前位置是第一行，但不是第一列：上一次移动只能是向右移动（因为已经是首行了：i为0）
        dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]; // 拿上一次的结果 + 当前位置的权重，就是当前位置dp的值了
        continue;
      }
      if(j === 0 && i !== 0) {
        // 和上面同理，当前位置是第一列，但不是第一行：只能是从上往下的移动
        dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j];
        continue;
      }
      // 可能是从左到右，也可能是从上到下。比较左方和上方，拿到最小的那个
      dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
    }
  }
  // 返回右下角的数
  return dp[m-1][n-1];
}