剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字#Java

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。

给你一个可能存在 重复 元素值的数组 numbers ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了一次旋转。请返回旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一次旋转，该数组的最小值为 1。

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

示例 1：

输入：numbers = [3,4,5,1,2]
输出：1

解题思路

有序数组中的查找，优先考虑二分法查找，二分法的关键在于如何通过比较缩小查找范围。

数组$[3,4,5,1,2]$ 可以分为左右两个数组——左数组$[3,4,5]$和右数组$[1,2]$，我们需要查找的$target$就是右数组的第一个数。

所以本题的解题思路的就是通过判断$mid$处于哪个左数组还是右数组来缩小查找的范围，最后把范围缩小到右数组的第一个数，即可查找到数组中的最小数字。

那么，如何判断$mid$处于左数组还是右数组呢？

——只需要与$right$^[1]^进行比较即可。

​ $\because right$是右数组的最大值

​ $\therefore$ 右数组的所有数都$< right$，左数组的所有数都$> right$

​ $\therefore$ 如果$mid < right$说明$mid$处于右数组，如果$mid > right$说明$mid$处于左数组

现在我们将$mid$与$right$进行比较，如果$mid > right$，就移动$left$到$mid+1$处，如果$mid<right$，就移动$right$到$mid$^[2]^处，通过这种方式即可完成最小值的二分查找。

算法流程

1. 初始化：声明$left、right$两个指针分别指向数组的两端
2. 循环二分：$mid=(left+right)/2$与$right$进行比较有以下几种情况
   • $mid>right$，说明$mid$位于左数组，右移$left$到$mid+1$处
   • $mid<rigth$，说明$mid$位于右数组，左移$right$到$mid$处
   • $mid=rigth$^[3]^，无法判断，$right--$
3. 返回值：$left=rigth$时，结束循环，此时$left$指向的就是数组的最小值

正确性证明：

1. 能否与$left$ 进行比较？

   不能，虽然对于数组$[3,4,5,1,2]$ 看起来是可行的，但如果没有数字被旋转，即$[1,2,3,4,5]$ 这类纯有序数组，则所有$mid$ 都大于$left$ ，无法确定其处于哪个数组。

2. 为什么$left$ 是移动到$mid+1$ 处，而$right$ 是移动到$mid$ 处？

   因为$mid<right$ 时，$mid$ 可能就是我们要求的最小值。

3. $mid=right$ 时，为什么可以通过$right--$ 缩小范围?

   因为$mid=right$ 时，$rigth$ 肯定不是右排序数组的第一个元素。

代码

class Solution {
    public int minArray(int[] numbers) {
        int left = 0;
        int right = numbers.length - 1;
        int mid;
        while (left < right) {
            mid = (left + right) / 2;
            if (numbers[mid] > numbers[right]) {
                left = mid + 1;
            } else if (numbers[mid] < numbers[right]) {
                right = mid; 
            } else {
                right--;
            }
        }
        return numbers[left];
    }
}