【C/C++】873. 最长的斐波那契子序列的长度携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第

携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第15天，点击查看活动详情

题目链接：873. 最长的斐波那契子序列的长度

题目描述

如果序列 $X_1, X_2, ..., X_n$ 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：

n >= 3
对于所有 i + 2 <= n，都有 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$ 给定一个 严格递增 的正整数数组形成序列 arr，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 0 。

（回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

提示:

$3 \leqslant arr.length \leqslant 1000$
$1 \leqslant arr[i] < arr[i + 1] \leqslant 10^9$

示例 1：

输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。

示例 2：

输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。

整理题意

题目给定一个 严格递增 的正整数数组 arr，要求返回 arr 中最长的 斐波那契式 的 子序列 的长度。

题目提示 子序列 不需要连续，连续的叫子串

解题思路分析

由 斐波那契式 的定义可知，组成斐波那契式至少三个元素，且满足 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$ 。那么我们可以固定其中两个元素从而得到第三个元素的值，然后依次推出整个斐波那契式。

这里我们可以很容易想到暴力枚举 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 从而依次求得包含 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 的最长斐波那契式。

既然是递推，那换一种思维，我们可以通过已知来推未知，也就是 动态规划 的方法：

定义 dp[j][i]：表示以 arr[j] 和 arr[i] 结尾最长的斐波那契式的子序列的长度。
状态转移：那么我们只需通过 arr[j] 和 arr[i] 求得数组中是否存在上一个 arr[k]，通过已知的 dp[k][j] 来推未知的 dp[j][i] 即可，那我们可以得到转移方程为：dp[j][i] = dp[k][j] + 1，另外，如果存在这样的 k，那么斐波那契式的长度至少为 3，所以完整的转移方程为：dp[j][i] = max(3, dp[k][j] + 1);

具体实现

因为我们可以由枚举的 arr[j] 和 arr[i] 直接得到 arr[k] 的值，我们只需判断 arr[k] 是否存在于数组 arr 中并得到这个下标 k，这里可以预处理建立 arr 数组的所有 逆映射，那我们在判断 arr[k] 是否存在于数组 arr 中时就无需再通过遍历或者二分的方法来判断，可以直接通过映射关系来判断，并且可以同时得到 arr[k] 的下标 k，提高效率。

所谓的 逆映射 就是值映射下标，原本在数组中为下标映射值，现在为了快速判断数组中是否存在某个值时，建立逆映射来解决，不仅可以快速判断是否存在，还能直接得到该值所在的下标位置。

注意： 这里因为不仅需要判断 arr[k] 是否存在，还要得到 k 的值，所以不能用 set 集合来完成，只能用映射 map 来完成。但是在暴力枚举 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 时我们仅需使用 set 集合来判断 $X_{i+2}$ 是否存在即可。

在固定 arr[i] 枚举 arr[j] 时可以利用数组 arr 的单调性优化。由于数组 arr 是严格单调递增的，因此在确定下标 i 的情况下可以反向遍历下标 j，计算 dp[j][i] 的值，只有当 $\textit{arr}[j] \times 2 > \textit{arr}[i]$ 时才能找到满足 k < j 且 $\textit{arr}[k] + \textit{arr}[j] = \textit{arr}[i]$ 的下标 k，当 $\textit{arr}[j] \times 2 \le \textit{arr}[i]$ 时不需要对当前下标 i 继续遍历更小的下标 j，因为此时已经无法找到满足 k < j 且 $\textit{arr}[k] + \textit{arr}[j] = \textit{arr}[i]$ 的下标 k。

复杂度分析

时间复杂度：时间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 n 是数组 arr 的长度。动态规划的状态数是 $O(n^2)$ ，每个状态的计算时间都是 $O(1)$ 。
空间复杂度： $O(n^2)$ ，其中 n 是数组 arr 的长度。需要创建二维数组 dp，空间是 $O(n^2)$ 。

代码实现

class Solution {
public:
    int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) {
        int n = arr.size();
        //逆映射，方便通过 arr[i] 和 arr[j] 寻找 arr[k]
        unordered_map<int, int> mp;
        mp.clear();
        for(int i = 0; i < n; i++) mp[arr[i]] = i;
        //定义 dp[j][i] 表示以 arr[j] 和 arr[i] 结尾构成的最长斐波那契式的子序列
        int dp[n][n];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        int ans = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            //由于arr为递增序列，所以当 arr[j] * 2 <= arr[i] 时就找不到 arr[k] + arr[j] = arr[i] 了
            for(int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] * 2 > arr[i]; j--){
                int k = -1;
                //是否存在 arr[k] + arr[j] == arr[i]
                if(mp.count(arr[i] - arr[j])){
                    k = mp[arr[i] - arr[j]];
                    dp[j][i] = max(3, dp[k][j] + 1);
                }
                ans = max(ans, dp[j][i]);
            }
        }
        return ans;
    }
};

总结

该题核心在于 定义动态规划的表达式 dp[j][i]：表示以 arr[j] 和 arr[i] 结尾最长的斐波那契式的子序列的长度。
根据动态规划的定义就可以很好的写出动态规划的转移方程式，所以难点在于 状态如何定义。
我们还可以通过暴力枚举 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 的方法，从而依次求得以 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 开头的最长斐波那契式长度，但该种方法在时间复杂度上差于动态规划，不过空间上更优于动态规划，但是从时间和空间的置换比例来看，用空间来置换时间往往是更优的。
测试结果：

可以看到利用动态规划的时间复杂度更低，但是同时也需要更多的内存消耗，这也就是空间置换了时间。并且花费的空间置换时间性价比较高，所以更推荐使用动态规划的方法。

结束语

坚持运动的人生，真的大不相同。运动不仅能锻炼体魄，还能帮助我们缓解压力、释放情绪。当压力随着汗水挥发，我们收获的就是一个更健康、更快乐的自己。新的一天，加油！