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62. 不同路径 [middle]
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。 问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
-
1 <= m, n <= 100 -
题目数据保证答案小于等于
2 * 109
解题思路
动态规划解法：
已知 m * n 的网格，机器人每次只能向右或者向下走一步，那么对于最后一行 m-1 来说，已经到底不能向下继续走，只能向右移动了，那么 grid[m-1][0]、grid[m-1][1] ... grid[m-1][n-1] 都只能向右走；同理，对于 grid[0][n-1]、grid[1][n-1] ... grid[m-1][n-1] 来说，只能向下走。
设：dp[i][j] 为第 i 行 第 j 列能走的路径数。
那么初始状态：
for (let i = 0; i < m; ++i) {
dp[i][n - 1] = 1;
}
for (let i = 0; i < n; ++i) {
dp[m - 1][i] = 1;
}
表示这些格子能走的路径数为1。
对于之外的每个格子来说，上一步可能是从上面走过来的，也可能是从左边走过来的。因此我们可以推出状态转移方程：
dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1];
题解
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function(m, n) {
const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
for (let i = 0; i < m; ++i) {
dp[i][n - 1] = 1;
}
for (let i = 0; i < n; ++i) {
dp[m - 1][i] = 1;
}
for (let i = m - 2; i >= 0; --i) {
for (let j = n - 2; j >= 0; --j) {
dp[i][j] = dp[i + 1][j] + dp[i][j + 1];
}
}
return dp[0][0];
};
我这边是以倒序的形式求解的，所以最后的结果是在 dp[0][0] 上。
63. 不同路径Ⅱ [middle]
题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。 现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2：
输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
提示：
-
m == obstacleGrid.length -
n == obstacleGrid[i].length -
1 <= m, n <= 100 -
obstacleGrid[i][j]为0或1
解题思路
这题同上一题的不同之处就是加入了障碍物的概念。
那么对于障碍物 grid[i][j] 来说，是不存在从上面或者左边能移动一步到此的，毕竟障碍物上不能通过。
所以这边我们初始化时就要对情况进行细分了：
那么对于最后一行 m-1 来说，已经到底不能向下继续走，只能向右移动了，那么如果当前网格是障碍物的话，指定是要初始化为 0 了，而对于正常的路来说，依然是 grid[m-1][0]、grid[m-1][1] ... grid[m-1][n-1] 都只能向右走。对于最后一列也是一个道理。
所以我们可以推出初始化逻辑：
for (let i = m - 2; i >= 0; --i) {
obstacleGrid[i][n - 1] = obstacleGrid[i][n - 1] === 1 ? 0 : obstacleGrid[i + 1][n - 1];
}
for (let i = n - 2; i >= 0; --i) {
obstacleGrid[m - 1][i] = obstacleGrid[m - 1][i] === 1 ? 0 : obstacleGrid[m - 1][i + 1];
}
此外对于其他网格来说，依然是要分情况的，如果是障碍物，则需要特殊处理。
for (let i = m - 2; i >= 0; --i) {
for (let j = n - 2; j >= 0; --j) {
obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i][j] === 1 ? 0 : obstacleGrid[i + 1][j] + obstacleGrid[i][j + 1];
}
}
如果当前不是障碍物的话，就同上一题的情况一样，否则就只能置为0。
题解
/**
* @param {number[][]} obstacleGrid
* @return {number}
*/
var uniquePathsWithObstacles = function(obstacleGrid) {
const m = obstacleGrid.length, n = obstacleGrid[0].length;
if (obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1) return 0; // 处理边界情况
obstacleGrid[m - 1][n - 1] = obstacleGrid[m - 1][n - 1] === 1 ? 0 : 1;
for (let i = m - 2; i >= 0; --i) {
obstacleGrid[i][n - 1] = obstacleGrid[i][n - 1] === 1 ? 0 : obstacleGrid[i + 1][n - 1];
}
for (let i = n - 2; i >= 0; --i) {
obstacleGrid[m - 1][i] = obstacleGrid[m - 1][i] === 1 ? 0 : obstacleGrid[m - 1][i + 1];
}
for (let i = m - 2; i >= 0; --i) {
for (let j = n - 2; j >= 0; --j) {
obstacleGrid[i][j] = obstacleGrid[i][j] === 1 ? 0 : obstacleGrid[i + 1][j] + obstacleGrid[i][j + 1];
}
}
return obstacleGrid[0][0]
};
结束语
动态规划在实际应用中还是存在的，这两道题作为动态规划的基础题，希望大家能好好琢磨，加深对动态规划这一算法的理解，有利于日后更好的跑路 or 开发。
