浅谈欧拉函数(附带题目)

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浅谈欧拉函数(附带题目)

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什么是欧拉函数?

在数论,对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目. image.png 简单来说欧拉函数就是1~n有几个素数

欧拉函数的标准定义:

image.png 我们有两种欧拉函数一种就是按照定义来求欧拉函数(虽然不是很建议大家用这样的方法) 这里就直接给大家看看代码总览~

定义求欧拉函数代码总览

给n个正整数ai,求每个数的欧拉函数 image.png 这里需要看到的是,用定义求欧拉函数很麻烦,对于这样的问题重复度较高,所以就有了接下来的用欧拉筛法求欧拉函数

欧拉筛法求欧拉函数:

比如这题:给定一个数n,求1n欧拉函数之和(数据范围为110^6)

关键代码呈现

typedef long long LL;
const int N = 1000010;

int Prime[N], t;
int phi[N];
bool st[N];

LL get_euler(int n) {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (!st[i]) {
			Prime[t++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 0; j < t && Prime[j] * i <= n; j++) {
			st[Prime[j] * i] = true;
			if (i % Prime[j] == 0) {
				phi[Prime[j] * i] = Prime[j] * phi[i];
				break;
			}
			phi[Prime[j] * i] = phi[i] * (Prime[j] - 1);
		}
	}
	LL res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		res += phi[i];
	}
	return res;
}
复制代码

接下来介绍一道题:

题目描述:

1∼N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数,记为ϕ(N)。
若在算数基本定理中,N=p^a1p^a2…pa^m,则:
ϕ(N) = N×(p1−1)/p1×(p2−1)/p2×…×(pm−1)/pm;

输入格式:

第一行输入一个n,接下来行每行包含一个正整数ai,输出ai的欧拉函数。
数据范围:1<=n<=100,1<=ai<=2*10^9

输出格式:

共一行,包含一个整数,表示 1∼n 中每个数的欧拉函数之和。

输入样例:

3
3
6
8
复制代码

输出样例:

2
2
4
复制代码

思路分析:

按照之前的欧拉函数方法做就好了

代码如下:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--) {
		int num;
		cin >> num;
		int res = num;
		for (int i = 2; i <= num / i; i++) {
			if (num % i == 0) {
				res = res / i * (i - 1);
				while (num % i == 0)
					num /= i;
			}
		}
		if (num > 1)
			res = res / num * (num - 1);
		cout << res << endl;
	}
}
复制代码

PS:成功解题=理清思路+一定的技巧~

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