每日一题:在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

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在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

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给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]

你必须设计并实现时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1:

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出:[3,4]

示例 2:

输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出:[-1,-1]

示例 3:

输入:nums = [], target = 0
输出:[-1,-1]

提示:

  • 0 <= nums.length <= 105
  • -109 <= nums[i] <= 109
  • nums 是一个非递减数组
  • -109 <= target <= 109

解题思路:二分查找

像这种在一个有序数组里寻找元素的题,我们就可以使用二分查找做

用两次二分查找,第一次的二分查找用来寻找元素的起始位置,第二次的二分查找用来寻找元素的结束位置

  • 第一次的二分查找,我们将区间[l, r]划分成[l,mid][mid+1,r]时,更新操作是r = midr或者l = mid + 1,计算mid时不需要加1,即mid = (l + r) / 2
  • 第二次的二分查找,我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1][mid,r]时,其更新操作是r = mid - 1或者l = mid,此时为了防止死循环,计算mid时需要加1,即mid = ( l + r + 1 ) /2
  • 对于第二个模板,当我们更新区间时,如果左边界l更新为l = mid,此时mid的取值就应为mid = (l + r + 1)/ 2。因为当右边界r = l + 1时,此时mid = (l + l + 1)/2,下取整,mid仍为l,左边界再次更新为l = mid,相当于没有变化,while循环就会陷入死循环。因此,当左边界要更新为l = mid时,我们就令 mid =(l + r + 1)/2,上取整,此时就不会因为r取特殊值r = l + 1而陷入死循环了。

具体实现思路:

  1. 第一次查找:
  • l = 0r = nums.size() - 1,我们用二分查找>=target的最左边界
  • nums[mid] >= target时,往左半区域找,r = mid
  • nums[mid] < target时, 往右半区域找,l = mid + 1
  • 如果nums[r] != target,说明数组中不存在目标值,返回[-1, -1]
  1. 第二次查找:
  • l = 0r = nums.size() - 1,我们用二分查找<=target的最右边界。
  • nums[mid] <= target时,往右半区域找,l = mid
  • nums[mid] > target时,往左半区域找,r = mid - 1
  • 找到了最后一个<=target的位置R,返回区间[L,R]

实现代码:(JAVA)

class Solution {
    public int[] searchRange(int[] nums, int target) {
        if(nums.length == 0) return new int[]{-1,-1};
    
        int l = 0, r = nums.length - 1; //二分范围
        while( l < r)			        //查找元素的开始位置
        {
            int mid = (l + r )/2;
            if(nums[mid] >= target) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        if( nums[r] != target) return new int[]{-1,-1}; //查找失败
        int L = r;
        l = 0; r = nums.length - 1;     //二分范围
        while( l < r)			        //查找元素的结束位置
        {
            int mid = (l + r + 1)/2;
            if(nums[mid] <= target ) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        return new int[]{L,r};
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(log n)
  • 空间复杂度:O(1)