LeetCode 二叉搜索树系列 ～ 将有序数组转换为二叉搜索树

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二叉搜索树的定义

二叉查找树（Binary Search Tree），（又：二叉搜索树，二叉排序树）它或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树： 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值； 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值； 它的左、右子树也分别为二叉排序树。二叉搜索树作为一种经典的数据结构，它既有链表的快速插入与删除操作的特点，又有数组快速查找的优势；所以应用十分广泛，例如在文件系统和数据库系统一般会采用这种数据结构进行高效率的排序与检索操作。

二叉搜索树主要支持三个操作

搜索

关于二叉搜索树的搜索，对于每个节点：

• 如果目标值等于节点的值，则返回节点；
• 如果目标值小于节点的值，则继续在左子树中搜索；
• 如果目标值大于节点的值，则继续在右子树中搜索。

插入

插入到操作与搜索类似，对于每个节点：

• 根据节点值与目标节点值的关系，搜索左子树或右子树；
• 重复上一步直到到达外部节点；
• 根据节点的值与目标节点的值的关系，将新节点添加为其左侧或右侧的子节点。

删除

删除的操作比起前两个操作会稍微复杂些，需要注意的点如下：

• 如果目标节点没有子节点，我们可以直接移除该目标节点。
• 如果目标节只有一个子节点，我们可以用其子节点作为替换。
• 如果目标节点有两个子节点，我们需要用其中序后继节点或者前驱节点来替换，再删除该目标节点。

平衡二叉搜索树的定义

平衡二叉搜索树：一个平衡二叉搜索树是在插入和删除任何节点之后，可以自动保持其高度最小。也就是说，有 N个节点的平衡二叉搜索树，它的高度是 $logN$ 。并且，每个节点的两个子树的高度不会相差超过1。

题目

给你一个整数数组 nums ，其中元素已经按 升序 排列，请你将其转换为一棵 高度平衡 二叉搜索树。

高度平衡 二叉树是一棵满足「每个节点的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 」的二叉树。

示例

输入：nums = [-10,-3,0,5,9]
输出：[0,-3,9,-10,null,5]
解释：[0,-10,5,null,-3,null,9] 也将被视为正确答案：

输入： nums = [1,3]
输出： [3,1]
解释： [1,null,3] 和 [3,1] 都是高度平衡二叉搜索树。

提示

• 1 <= nums.length <= 10^4
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• nums 按 严格递增 顺序排列

代码实现

以数组中间的元素作为根节点，划分左区间作为左子树，右区间作为右子树。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode() {}
 *     TreeNode(int val) { this.val = val; }
 *     TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) {
 *         this.val = val;
 *         this.left = left;
 *         this.right = right;
 *     }
 * }
 */
class Solution {
    public TreeNode sortedArrayToBST(int[] nums) {
        return dfs(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private TreeNode dfs(int[] nums, int lo, int hi) {
        // 边界处理
        if (lo > hi) {
            return null;
        } 
        // 以升序数组的中间元素作为根节点 root。
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;
        TreeNode root = new TreeNode(nums[mid]);
        // 递归的构建 root 的左子树与右子树。
        root.left = dfs(nums, lo, mid - 1);
        root.right = dfs(nums, mid + 1, hi); 
        return root;
    }
}