动态规划（DP） | 青训营笔记

这是我参与「第四届青训营 」笔记创作活动的第[8]天

动态规划

• 动态规划适合用来求解最优问题，比如最大值，最小值等。
• 动态规划可以将已经计算过的结果再次利用，从而减少计算量。
• 它可以非常显著的降低时间复杂度，提高代码的运行效率。

0-1背包问题

• 动态规划的经典题目，那就背包问题，在有限的空间内，拿取最多的物品。

• 我们可以使用一个二维数组，将背包抽象化。

  // weight:物品的重量 n：物品的个数  w：背包可承载重量
   public int dp(int[] weight, int n, int w) {
       boolean[][] arr = new boolean[n][w + 1];
       arr[0][0] = true; //第一行的数据要特殊处理， 可以利用哨兵优化
       arr[0][weight[0]] = true;
       for (int i = 1; i < n; i ++) { //动态规划状态转移
           for (int j = 1; j <= w; j ++) {  //不把第i个物品装入背包
               if(arr[i - 1][j] == true) arr[i][j] = arr[i - 1][j];
           }
           for (int j = 1; j <= w - weight[i]; j ++) {  //把第i个物品装入背包
               if (arr[i - 1][j] == true) arr[i][j + weight[i]] = true;
           }
       }
       for (int i = w; i >= 0; i --) {  //最后输出结果
           if (arr[n - 1][i] == true) return i;
       }
       return 0;
   }
      
  

• 动态规划就是将一个问题分解为多个阶段，每个阶段对应一个决策，我们记录每一个阶段可达的状态集合（去除重复的），然后通过当前阶段的状态集合，来推到下一个阶段的状态集合，动态的向前推进。

• 这个问题也可以通过递归来实现，使用回溯算法来穷举所有的可能性，将所有的可能性计算出来，从中找到最优解，但是回溯算法的时间复杂度非常高，是指数级的。

• 但是通过这次动态规划的解法，可以将回溯算法进行优化，优化成动态规划差不多的时间复杂度。

• 动态规划是将计算过的结果保存下来，避免重复计算，那么回溯也可以这样，只需要每次将计算的结果保存下来，计算之前先从结果集里面查找是否计算过，如果计算过那么就跳过，没有计算过就计算。

时间复杂度

• 在以上代码中，有两层for循环，第一层循环中，需要执行n次，而在第二层循环中需要执行w次，然而它的时间复杂度也就是O(n * w)。

空间复杂度

• 在以上代码中，定义了一个二位数组arr,它的大小是n * w + 1, 定义的i， j可以不计入，那么它的空间复杂度也就是O(n * w)。