一、向量及矩阵基础

1. 向量叉积（Cross Product）

1.1. 【行列式表达】

向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的叉积（外积） $\vec{a}\times\vec{b}$ 可以表达为这样的行列式： ${ \vec{a}\times \vec{b} ={\begin{vmatrix}\vec{i} &\vec{j} &\vec{k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\\end{vmatrix}}}$

使用拉普拉斯沿第一行展开，得： ${ {\begin{aligned} \vec{a}\times \vec{b} &={\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}\vec{i}-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}\vec{j} +{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}\vec{k} \\&=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\vec{i} -(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})\vec{j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\vec{k} \end{aligned}}}$

将上式子稍作处理 ${ {\begin{aligned} \vec{a}\times \vec{b} &=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\vec{i} -(a_{x}b_{z}-a_{z}b_{x})\vec{j} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\vec{k}\\ &=(0 b_{x}-a_{z}b_{y}+a_{y}b_{z})\vec{i} -(-a_{z}b_{x}+0b_{y}+a_{x}b_{z})\vec{j} +(-a_{y}b_{x}+a_{x}b_{y}+0b_{z})\vec{k}\\ &=(0 b_{x}-a_{z}b_{y}+a_{y}b_{z})\vec{i} +(a_{z}b_{x}+0b_{y}-a_{x}b_{z})\vec{j} +(-a_{y}b_{x}+a_{x}b_{y}+0b_{z})\vec{k} \end{aligned}}}$

1.2. 【性质1】两向量叉乘，等价于由第一个向量构成的反对称矩阵（这里记作 $A$ ）与第二个向量的点积

$\vec{a}\times\vec{b}= \left[\begin{array}{l}a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z}\end{array}\right] \times\left[\begin{array}{l}b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0 & -a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & -a_{x} \\ -a_{y} & a_{x} & 0\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l}b_{x} \\ b_{y} \\ b_{z}\end{array}\right]=A \cdot \vec{b}$

1.3. 【性质2】 $\vec{a} \cdot \vec{a}^{T}=I+A \cdot A$

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{a}^{T}=& {\left[\begin{array}{l} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{lll} a_{x} & a_{y} & a_{z} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} a_{x}^{2} & a_{x} a_{y} & a_{x} a_{z} \\ a_{x} a_{y} & a_{y}^{2} & a_{y} a_{z} \\ a_{x} a_{z} & a_{y} a_{z} & a_{z}^{2} \end{array}\right] } \end{aligned}

\begin{aligned} A \cdot A &=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & -a_{x} \\ -a_{y} & a_{x} & 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_{z} & a_{y} \\ a_{z} & 0 & -a_{x} \\ -a_{y} & a_{x} & 0 \end{array}\right]\\ &={\left[\begin{array}{ccc} -a_{y}^{2}-a_{z}^{2} & a_{x} a_{y} & a_{x} a_{z} \\ a_{x} a_{y} & -a_{x}^{2}-a_{z}^{2} & a_{y} a_{z} \\ a_{x} a_{z} & a_{y} a_{z} & -a_{x}^{2}-a_{y}^{2} \end{array}\right] } \end{aligned}

所以二者有如下性质：

\vec{a} \cdot \vec{a}^{T}=I+A \cdot A

其中， $\vec{a}$ 为单位向量。

\begin{array}{l} \vec{a} \times(\vec{b} \times \vec{c})=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} \\ (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}=(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}-\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c}) \end{array}

1.4. 【几何意义】两向量叉积的长度可以解释成这两个叉乘向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共起点时，所构成平行四边形的面积。

2. 反对称矩阵

说明：下面提到的矩阵 $A$ 与上面的矩阵不是同一个矩阵， $A$ 只是一种记号，希望不要引起混淆。

2.1. 【定义】

设 $A$ 为 $n$ 维方阵，若有 $A'=-A$ ，则称矩阵 $A$ 为反对称矩阵。

2.2. 【性质】

对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元素反号。反对称矩阵具有很多良好的性质:

若 $A$ 为反对称矩阵，则 $A'$ ， $λA$ 均为反对称矩阵；
若 $A$ , $B$ 均为反对称矩阵，则 $A±B$ 也为反对称矩阵；
设 $A$ 为反对称矩阵， $B$ 为对称矩阵，则 $AB-BA$ 为对称矩阵；
奇数阶反对称矩阵的行列式必为 $0$ 。
反对称矩阵的特征值是0或纯虚数，并且对应于纯虚数的特征向量的实部和虚部形成的实向量等长且互相正交。

3. 矩阵加法

$A+B=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1 n}+b_{1 n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2 n}+b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1}+b_{m 1} & a_{m 2}+b_{m 2} & \cdots & a_{m n}+b_{m n}\end{array}\right)$

4. 数乘矩阵

$\lambda A=A \lambda=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1 n} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \lambda a_{m 1} & \lambda a_{m 2} & \cdots & \lambda a_{m n}\end{array}\right)$

5. 矩阵乘法

矩阵乘法满足结合律： $(AB)C=A(BC)$

二、罗德里格旋转公式

1. 罗德里格旋转公式

\begin{aligned} \mathbf{R} \left(\vec{n}, \theta \right) &={\cos \theta }I +( 1-\cos \theta) \vec n \vec n^{T} + \sin \theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]\\ &=\left[ \begin{array}{ccc} {n_x}^{2}(1-\cos \theta)+\cos \theta & {n}_{x} {n}_{y}(1-\cos \theta)-{n}_{z} \sin \theta & {n}_{x}{n}_{z}(1-\cos \theta)+{n}_{y} \sin \theta \\ {n}_{x}{n}_{y}(1-\cos \theta)+{n}_{z} \sin \theta & {n}_{y}^{2}(1-\cos \theta)+\cos \theta & {n}_{y}{n}_{z}(1-\cos \theta)-{n}_{x} \sin \theta \\ {n}_{x} {n}_{z}(1-\cos \theta)-{n}_{y} \sin \theta & {n}_{y} {n}_{z}(1-\cos \theta)+{n}_{x} \sin \theta &{n}_{z}^{2}(1-\cos \theta)+\cos\theta \end{array} \right] \end{aligned}

二者转换过程如下所示：

\begin{aligned} \mathbf{R} \left(\vec{n}, \theta \right) &={\cos \theta }I +( 1-\cos \theta) \vec n \vec n^{T} + \sin \theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]\\ &={\cos \theta }\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0& 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1 \end{array}\right] +( 1-\cos \theta) \left[ \begin{array}{c} n_x\\ n_y \\ n_z \end{array}\right] \left[ \begin{array}{ccc} n_x & n_y& n_z \end{array}\right] + \sin \theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]\\ &=\left[ \begin{array}{ccc} {\cos\theta } & 0& 0 \\ 0 & {\cos\theta }& 0 \\ 0 & 0& {\cos\theta } \end{array}\right] +( 1-\cos \theta) \left[ \begin{array}{ccc} n_x n_x & n_xn_y& n_x n_z\\ n_xn_y& n_y n_y& n_yn_z \\ n_x n_z& n_yn_z & n_z n_z \end{array}\right] + \sin \theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]\\ &=\left[ \begin{array}{ccc} {\cos\theta } & 0& 0 \\ 0 & {\cos\theta }& 0 \\ 0 & 0& {\cos\theta } \end{array}\right] +\left[ \begin{array}{ccc} ( 1-\cos \theta) n_x n_x & ( 1-\cos \theta) n_xn_y& ( 1-\cos \theta) n_x n_z\\ ( 1-\cos \theta) n_xn_y& ( 1-\cos \theta) n_y n_y& ( 1-\cos \theta) n_yn_z \\ ( 1-\cos \theta) n_x n_z& ( 1-\cos \theta) n_yn_z & ( 1-\cos \theta) n_z n_z \end{array}\right] + \left[ \begin{array}{ccc} 0 & - \sin \theta n_z& \sin \theta n_y \\ \sin \theta n_z & 0& -\sin \theta n_x \\ -\sin \theta n_y & \sin \theta n_x& 0 \end{array}\right]\\ &=\left[ \begin{array}{ccc} (1-\cos \theta){n_x}^{2}+\cos \theta & (1-\cos \theta){n}_{x} {n}_{y}-\sin \theta {n}_{z} & (1-\cos \theta){n}_{x}{n}_{z}+ \sin \theta{n}_{y} \\ (1-\cos \theta){n}_{x}{n}_{y}+\sin \theta{n}_{z} & (1-\cos \theta){n}_{y}^{2}+\cos \theta & (1-\cos \theta){n}_{y}{n}_{z}-\sin \theta{n}_{x} \\ (1-\cos \theta){n}_{x} {n}_{z}-\sin \theta{n}_{y} & (1-\cos \theta){n}_{y} {n}_{z}+\sin \theta{n}_{x} &(1-\cos \theta){n}_{z}^{2}+\cos\theta \end{array} \right] \end{aligned}

2. 公式说明

$\vec{n}$ ：
- 三维旋转变换的旋转轴
- 过原点，需要保证起点是原点
- 是单位化的向量，表达式为： $\vec{n} = ( n_x, n_y, n_z )$
$\theta$ ：
- 旋转角度，默认逆时针（逆时针的定义详见文章：透析三维空间旋转矩阵）
矩阵 $R (\vec{n}, \theta)$ ：
- 作用（左乘）在一个点上，就是这个点绕着旋转轴 $\vec{n}$ 旋转 $\theta$ 角后的位置坐标

三、证明

1. 符号说明

$\vec{v}$ 原始向量
$\vec{n}$ 旋转轴（ $\left\|\vec{n} \right\|=1$ ）
$\vec{v_{\|}}$ 是 $\vec{v}$ 在旋转轴 $\vec{n}$ 方向的投影
$\vec{v_{\perp}}$ 是 $\vec{v}$ 在旋转平面（ $\hat{b}O\hat{c}$ ）上的投影
$\vec{v^{\prime}}$ 是 $\vec{v}$ 旋转 $\theta$ 角度后的向量
$\vec{v_{\|}^{\prime}}$ 是 $\vec{v^{\prime}}$ 在旋转轴的投影
$\vec{v_{\perp}^{\prime}}$ 是 $\vec{v^{\prime}}$ 在旋转平面的投影
$\hat{a}$ 为旋转轴 $\vec{n}$ 所在方向的单位向量，有 $\hat{a}=\vec{n}$
$\hat{b}$ 为 $\vec{v_{\perp}}$ 所在方向的单位向量
$\hat{c}$ 为 $\hat{a} \times \hat{b}$ 所在方向的单位向量

2. 证明详解

首先我们要明确我们的思路，向量 $\vec{ v}$ ，经过旋转变换，也就是作用 (左乘) 上矩阵 $R \left(\vec{n}, \theta \right)$ ，即 $\vec{ v^{\prime}} = R \left(\vec{n}, \theta \right) \vec{ v}$ ，所以我们的目标就是建立一个用 $\vec{ v}$ 表示 $\vec{ v^{\prime}}$ 的几何关系，并且消除表达式中的未知量。

由三角形法则，知：

\vec{ v^{\prime} }=\vec{ v_{\perp}^{\prime} }+\vec{v_{\|}^{\prime}}\tag{3.1}

由于旋转前后，向量在旋转轴方向的投影方向、大小都相同，即：

\vec{v_{\|}^{\prime}}=\vec{v_{\|}}\tag{3.2}

根据图中的几何关系，知：

\vec{v_{\perp}^{\prime}}=\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|\cos\theta \hat{b}+\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|\sin\theta \hat{c}\tag{3.3}

其中 $a$ 、 $b$ 方向的单位向量，为：

\hat{b} = normalize(\vec{v_{\perp}}) = \frac{\vec{v_{\perp}}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}\tag{3.4}

\hat{c} = \hat{a} \times \hat{b}=\hat{a} \times\frac{\vec{v_{\perp}}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}=\frac{\hat{a} \times (\vec{v}-\vec{v_{\|}})}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}=\frac{\hat{a} \times \vec{v}-\hat{a} \times\vec{v_{\|}}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}=\frac{\hat{a} \times \vec{v}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}\tag{3.5}

将 (3.4) 、(3.5) 代入 (3.3) ，得：

\begin{aligned} \vec{v_{\perp}^{\prime}}&=\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|\cos\theta \frac{\vec{v_{\perp}}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}+\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|\sin\theta \frac{\hat{a} \times \vec{v}}{\left\|\vec{v_{\perp}}\right\|}\\ &=\cos\theta \vec{v_{\perp}}+\sin\theta \hat{a} \times \vec{v}\\ &=\cos\theta \vec{v_{\perp}}+\sin\theta \vec{n} \times \vec{v} \tag{3.5} \end{aligned}

根据向量叉乘的几何意义，可得：

\vec{n} \times \vec{ v}=\vec{n} \times \vec{ v_{\perp} } = \vec{w} \tag{3.6}

其中 $\vec{w}$ 方向与 $c$ 轴同向，又因为 $\left\|\vec{w}\right\|=\left\|\vec{n} \times \vec{ v_{\perp} }\right\|=\left\|\vec{n}\right\| \left\|\vec{ v_{\perp} }\right\| \sin90^{\circ}= \left\|\vec{ v_{\perp} }\right\|$ ，所以 $\vec{v_{\perp}}$ 可以表示成：

\vec{v_{\perp}}=-\vec{n}\times\vec{w}=-\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})\tag{3.7}

将 (3.7) 代入 (3.5) 化简，得：

\begin{aligned} \vec{v_{\perp}^{\prime}} &=\cos\theta \vec{v_{\perp}}+\sin\theta \vec{n} \times \vec{v}\\ &=\cos\theta(-\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v}))+\sin\theta\vec{n} \times \vec{v}\\ &=-\cos\theta(\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v}))+\sin\theta\vec{n} \times \vec{v} \tag{3.8} \end{aligned}

根据第一章 1.2. 节的性质 2 可知:

\vec{n} \times \vec{ v}= N \cdot \vec{ v} = \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]\cdot \vec{ v} \tag{3.9}

根据矩阵乘法结合律，可知：

\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})= N \cdot (N \cdot \vec{ v})=(N \cdot N) \cdot \vec{ v} \tag{3.10}

根据 1.3. 中提到的性质2 : $\vec{a} \cdot \vec{a}^{T}=I+A \cdot A$ ，可知：

\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})=(N \cdot N) \cdot \vec{ v}=(\vec{n} \cdot \vec{n}^{T}-I)\cdot \vec{ v} \tag{3.11}

由三角形法则 $\vec{v}=\vec{v_{\perp}}+\vec{v_{\|}}$ ，知：

\vec{v_{\|}}=\vec{v}- \vec{v_{\perp}}= \vec{v}+\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})\tag{3.12}

将 (3.8)、(3.9)、(3.11)、(3.12) 代入 (3.1) $\vec{ v^{\prime} }=\vec{ v_{\perp}^{\prime} }+\vec{v_{\|}^{\prime}}$ ，得：

\begin{aligned} \vec{ v^{\prime} }&=-\cos\theta(\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v}))+\sin\theta\vec{n} \times \vec{v}+\vec{v}+\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})\\ &=(1-\cos\theta)(\vec{n}\times(\vec{n} \times \vec{ v})) +\vec{v}+ \sin\theta\vec{n} \times \vec{v}\\ &=(1-\cos\theta)(\vec{n} \cdot \vec{n}^{T}-I)\cdot \vec{ v}+\vec{v}+ \sin\theta N \cdot \vec{ v}\\ &=((1-\cos\theta)\vec{n} \cdot \vec{n}^{T}-(1-\cos\theta)I+I+ \sin\theta N) \cdot \vec{ v}\\ &=(\cos\theta I +(1-\cos\theta)\vec{n} \vec{n}^{T}+ \sin\theta N) \cdot \vec{ v}\\ &=(\cos\theta I +(1-\cos\theta)\vec{n} \vec{n}^{T}+ \sin\theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right]) \cdot \vec{ v} \tag{3.13} \end{aligned}

所以就推导出了旋转矩阵 $R \left(\vec{n}, \theta \right)$ 的公式，如下所示：

\begin{aligned} \mathbf{R} \left(\vec{n}, \theta \right) &={\cos \theta }I +( 1-\cos \theta) \vec n \vec n^{T} + \sin \theta \left[ \begin{array}{ccc} 0 & -n_z& n_y \\ n_z & 0& -n_x \\ -n_y & n_x& 0 \end{array}\right] \end{aligned}

四、绕任意轴旋转

使用罗德里格旋转公式，是有一定条件的，那么对于绕任意轴旋转的情况我们只需要做如下步骤的处理，就仍可以使用罗德里格旋转公式。

1. 把所有的待旋转的点、旋转轴平移到使得旋转轴起点在原点的位置

实际操作中，旋转轴只需要进行单位化处理就可以了。

2. 再进行旋转操作

将推导出来的旋转矩阵 $R \left(\vec{n}, \theta \right)$ 作用（左乘）在经过平移处理的待旋转的点上就可以了。

3.再把所有的点移回去

这样就得到了点的经过旋转后坐标。