01-复杂度1 最大子列和问题

题目描述

给定K个整数组成的序列{ N₁, N₂, ..., N_K }，“连续子列”被定义为{ N_i, N_i+1, ..., N_j }，其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

• 数据1：与样例等价，测试基本正确性；
• 数据2：10²个随机整数；
• 数据3：10³个随机整数；
• 数据4：10⁴个随机整数；
• 数据5：10⁵个随机整数；

输入格式

输入第1行给出正整数K (≤100000)；第2行给出K个整数，其间以空格分隔。

输出格式

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例

20

题解

教学中给了四种算法，复杂度逐渐优化。

算法 1 暴力枚举

$T(N)=O(N^{3})$

int MaxSubseqSum1(int A[], int N)
{
    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < N; i++) { // enumerate left ends
        for (j = i; j < N; j++) { // enumerate right ends
            ThisSum = 0;
            for (k = i; k <= j; k++) ThisSum += A[k]; // sum
            if (ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

只能通过前三个样例。后两个样例超时。

算法 2 枚举优化

$T(N)=O(N^{2})$

int MaxSubseqSum2(int A[], int N)
{

    int ThisSum, MaxSum = 0;
    int i, j;
    for (i = 0; i < N; i++) { // enumerate left ends
        ThisSum = 0;
        for (j = i; j < N; j++) { // enumerate right ends
            ThisSum += A[j];
            if (ThisSum > MaxSum) MaxSum = ThisSum;
        }
    }
    return MaxSum;
}

可以通过所有样例。但还能更快。

算法 3 分而治之

$T(N)=O(N\log N)$

int Max3( int A, int B, int C )
{ /* 返回3个整数中的最大值 */
    return A > B ? (A > C ? A : C) : (B > C ? B : C);
}

int DivideAndConquer( int List[], int left, int right )
{ /* 分治法求List[left]到List[right]的最大子列和 */     
    int MaxLeftSum, MaxRightSum; /* 存放左右子问题的解 */     
    int MaxLeftBorderSum, MaxRightBorderSum; /*存放跨分界线的结果*/     
    int LeftBorderSum, RightBorderSum;     
    int center, i;     
    if ( left == right )  { /* 递归的终止条件，子列只有1个数字 */        
        if( List[left] > 0 )  
            return List[left];         
        else 
            return 0;     
    }     

    /* 下面是"分"的过程 */     
    center = ( left + right ) / 2; /* 找到中分点 */     
    /* 递归求得两边子列的最大和 */     
    MaxLeftSum = DivideAndConquer( List, left, center );     
    MaxRightSum = DivideAndConquer( List, center + 1, right );     
    /* 下面求跨分界线的最大子列和 */     
    MaxLeftBorderSum = 0; LeftBorderSum = 0;     
    for ( i = center; i >= left; i-- ) { /* 从中线向左扫描 */         
        LeftBorderSum += List[i];         
        if ( LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum )             
            MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;     
    } /* 左边扫描结束 */     
    MaxRightBorderSum = 0; RightBorderSum = 0;     
    for ( i = center + 1; i <= right; i++ ) { /* 从中线向右扫描 */      
        RightBorderSum += List[i];         
        if ( RightBorderSum > MaxRightBorderSum )             
            MaxRightBorderSum = RightBorderSum;     
    } /* 右边扫描结束 */     

    /* 下面返回"治"的结果 */     
    return Max3( MaxLeftSum, MaxRightSum, MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum );

}

int MaxSubseqSum3( int List[], int N ) { /* 保持与前2种算法相同的函数接口 */     
    return DivideAndConquer( List, 0, N - 1 );
}

分治的思想很重要。

算法 4 在线处理

$T(N)=O(N)$

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
    int ThisSum,MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        ThisSum += A[i]; // add up one by one
        if (ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum; // update maxsum
        else if (ThisSum < 0) // if thissum is negative
            ThisSum = 0; // then it can't make the part behind greater, abandon it
    }
    return MaxSum;
}

“在线”的意思是指每输入一个数据就进行即时处理，在任何一个地方终止输入，算法都能正确给出当前的解。

完整代码

#include <stdio.h>

int MaxSubseqSum4(int A[], int N)
{
    int ThisSum,MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for (i = 0; i < N; i++) {
        ThisSum += A[i];
        if (ThisSum > MaxSum)
            MaxSum = ThisSum;
        else if (ThisSum < 0)
            ThisSum = 0;
    }
    return MaxSum;
}

int main()
{
    int i, N, A[100001];
    scanf("%d", &N);
    for (i = 0; i < N; i++) scanf("%d", &A[i]);
    printf("%d", MaxSubseqSum4(A, N));
    return 0;
}