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Codeforces Round #735 (Div. 2)-C. Mikasa

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Problem Description

You are given two integers $n$ and $m$ . Find the $\operatorname{MEX}$ of the sequence $n \oplus 0, n \oplus 1, \ldots, n \oplus m$ . Here, $\oplus$ is the bitwise XOR operator.

$\operatorname{MEX}$ of the sequence of non-negative integers is the smallest non-negative integer that doesn't appear in this sequence. For example, $\operatorname{MEX}(0, 1, 2, 4) = 3$ , and $\operatorname{MEX}(1, 2021) = 0$ .

Input

The first line contains a single integer $t$ ( $1 \le t \le 30\,000$ ) — the number of test cases.

The first and only line of each test case contains two integers $n$ and $m$ ( $0 \le n, m \le 10^9$ ).

Output

For each test case, print a single integer — the answer to the problem.

Sample Input

5
3 5
4 6
3 2
69 696
123456 654321

Sample Onput

Note

In the first test case, the sequence is $3 \oplus 0, 3 \oplus 1, 3 \oplus 2, 3 \oplus 3, 3 \oplus 4, 3 \oplus 5$ , or $3, 2, 1, 0, 7, 6$ . The smallest non-negative integer which isn't present in the sequence i. e. the $\operatorname{MEX}$ of the sequence is $4$ .

In the second test case, the sequence is $4 \oplus 0, 4 \oplus 1, 4 \oplus 2, 4 \oplus 3, 4 \oplus 4, 4 \oplus 5, 4 \oplus 6$ , or $4, 5, 6, 7, 0, 1, 2$ . The smallest non-negative integer which isn't present in the sequence i. e. the $\operatorname{MEX}$ of the sequence is $3$ .

In the third test case, the sequence is $3 \oplus 0, 3 \oplus 1, 3 \oplus 2$ , or $3, 2, 1$ . The smallest non-negative integer which isn't present in the sequence i. e. the $\operatorname{MEX}$ of the sequence is $0$ .

题目大意

给你两个数 $n$ 和 $m$ ，用所有 $0$ 到 $m$ 的数 $x$ 去异或 $n$ 。

在得到的结果中，输出最小的未出现过的非负正整数。

解题思路

假设 $x\oplus n=k$ ，那么根据异或的性质就有 $n\oplus k=x$ 。

我们可以尝试一些 $k$ ，用 $k$ 去异或 $n$ ，看得到的 $x$ 是否属于 $0$ ~ $m$ 。如果属于，那么这个 $k$ 就能够被 $0$ ~ $m$ 中的某个数异或 $n$ 来得到；如果不属于，那么这个 $k$ 就是 $0$ ~ $m$ 中的数异或 $n$ 的所有结果中未出现过的。

所以现在就是在所有的异或 $n$ 之后的结果不属于 $0$ ~ $m$ 的 $k$ 中，找到最小的 $k$ 。问题转化为：找到最小的 $k$ 使得 $k\oplus n\geq m+1$ 。

接下来我们从高到低来看 $k$ 的每一位就行了。

想让 $k$ 最小，那么这一位能够是 $0$ 的话绝不是 $1$ 。

如果 $n$ 和 $m+1$ 的这一位 $n_i$ 和 $(m+1)_i$ 相同，那么 $k$ 的这一位就可以是 $0$ ，因为 $0\oplus n_i = n_i = (m+1)_i\geq(m+1)_i$

如果 $n_i\neq (m+1)_i$

如果 $n_i$ 是 $1$ 而 $(m+1)_i$ 是 $0$ ，那么 $k_i$ 可以是 $0$ ，因为 $k_i\oplus n_i=0\oplus1=1>0=(m+1)_i$

如果 $n_i$ 是 $0$ 而 $(m+1)_i$ 是 $0$ 的话，那么 $k_i$ 必须是 $1$ ，否则 $k_i\oplus n_i=0\oplus0$ 就 $<(m+1)_i$ 了。

任何时刻，一旦 $k\oplus n$ 已经 $>m+1$ 了， $k$ 剩下的位都为 $0$ 就可以了，之间 $break$ 掉就行。

具体实现可以再参考一下代码。

AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;
int main()
{
    int N;
    cin>>N;
    while(N--)
    {
        int n, m;
        cd(n), cd(m); // scanf n、m
        m++; // m 变成 m+1
        int k=0; // 答案k的初始值为0(越小越好)
        for(int i=30;i>=0;i--) // 枚举每一位
        {
            int thisN=n>>i&1; // n的这一位
            int thisM=m>>i&1; // m的这一位
            if(thisN!=thisM)  // 如果相等就什么都不需要做，如果不相等：
            {
                if(thisN==0) // 如果n的这一位是0(说明m的这一位是1)，那么k的这一位必须是1
                {
                    k+=1<<i;
                }
            }
            if((n^k)>=m)break; // 一旦n异或k已经大于等于m了(现在的m是输入的m+1)，就退出
        }
        cout<<k<<endl; // 输出k即可
    }
    return 0;
}