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四方定理

题目描述

四方定理是众所周知的：任意一个正整数 $n$ ，可以分解为不超过四个整数的平方和。例如： $25=1^{2}+2^{2}+2^{2}+4^{2}$ ，当然还有其他的分解方案， $25=4^{2}+3^{2}$ 和 $25=5^{2}$ 。给定的正整数 $n$ ，编程统计它能分解的方案总数。注意： $25=4^{2}+3^{2}$ 和 $25=3^{2}+4^{2}$ 视为一种方案。

输入格式

第一行为正整数 $t$ ( $t\le 100$ )，接下来 $t$ 行，每行一个正整数 $n$ ( $n\le 32768$ )。

输出格式

对于每个正整数 $n$ ，输出方案总数。

样例 #1

样例输入 #1

1
2003

样例输出 #1

解题思路

就是一个背包，把每个平方数看成一个物品，求方案数。因为对用的数的个数有要求，所以是二维费用背包，要注意的是每个数是不限个数的。

先构造a[i]，就是平方数，这是物品大小，n就是背包大小，设f[i]表示背包大小为i能装满的方案

核心如下：

for (int i=1;i<=物品总数;i++)
       for (int j=a[i];j<=背包最高价值;j++)
          f[j]+=f[j-a[i]];

f[][]的第二维就是平方数的个数，在解决了方案总数怎么求之后，就要考虑只能用四个或四个以下。所以要加一维。

总结为f[j][k]代表价值上线为j，取k个数作组合时的方案总数。则最后答案为f[n][1]到f[n][4]的和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[185],f[32770][5],m,n;
int main()
{   for(int i=1;i<=181;i++)
    a[i]=i*i;             
    f[0][0]=1; 
    for (int i=1;i<=181;i++)
       for (int j=a[i];j<=32768;j++)
          for(int k=1;k<=4;k++)
          f[j][k]+=f[j-a[i]][k-1];
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m;
        cout<<f[m][1]+f[m][2]+f[m][3]+f[m][4]<<endl;
    }
    return 0;
}

【8月刷题打卡】四方定理