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一、平衡二叉树是什么？

1、定义

平衡二叉树：左右子树高度差的绝对值不超过1的二叉查找树特殊地，空树也是平衡二叉树

2、失衡

平衡因子=该节点的左子树-右子树的高度差
当平衡二叉树中存在某个结点的平衡因子的绝对值大于1，则该平衡树失衡。
平衡因子大于2，或者小于-2的结点称为失衡结点
最小失衡子树：从新插入结点开始向上寻找第一个失衡结点，以该结点为根的子树就称为最小失衡子树。

二、相关操作

1.平衡二叉树的结构

typedef struct BBSTNode{	
//平衡二叉树的结点，包括数据域、平衡因子、左右孩子 
	RcdType data;
	int bf;		//平衡因子 
	struct BBSTNode *lchild,rchild;
}*BBSTree;		//平衡二叉树
// BBSTree lc;定义了一个BBSTree类型的指针

2、失衡的四种情况及基本操作

在这里，我们首先需要明确一个点：就整棵树而言调整平衡的方法可能不唯一，哪怕是同一种类型都可能存在多种调整平衡的方法，但是：一棵平衡二叉树是因为新插入结点而导致不平衡的，所以我们只需要对最小失衡子树进行平衡调整，整棵树也会跟着平衡（插入结点导致高度改变，平衡调整是使得高度复原），所以并不需要整棵树进行调整。因为如果一个树很大，调整方法很多，就很繁琐，也很容易乱。

"LL型"：在最小失衡子树的左孩子的左子树上插入了新结点。

在这里插入图片描述右旋调整：

//对最小失衡子树p进行右旋调整 
void R_Rotate(BBSTree &p) {
	BBSTree lc = p->lchild;	
	p->lchild = lc->rchild;
	lc->rchild = p;
	p = lc;
}

"LL型"：

		最小失衡子树的根节点A的平衡因子		2	→	0
								其左孩子B的平衡因子		1	→	0

2. "RR型"：在最小失衡子树的右孩子的右子树上插入了新结点。在这里插入图片描述

左旋调整：

//对最小失衡子树p进行左旋调整 
void L_Rotate(BBSTree &p) {
	BBSTree rc = p->rchild;	// 
	p->rchild = rc->rchild;
	rc->lchild = p;
	p = rc;
}

"RR型"：

	最小失衡子树的根节点A的平衡因子		-2	→	0
				其左孩子B的平衡因子		-1	→	0

3. "LR型":在最小失衡子树的左孩子的右子树上插入新结点。

先左旋，再右旋：在这里插入图片描述 "LR型"：

		最小失衡子树的根节点A的平衡因子		2	→	2	→	-1
					其左孩子B的平衡因子		-1	→	0	→	 0
			其左孩子的右子树C的平衡因子		 1	→	2	→	 0

4. "RL型":在最小失衡子树的右孩子的左子树上插入结点。

先右旋，在左旋在这里插入图片描述 "RL型"：

		最小失衡子树的根节点A的平衡因子		-2	→	-2	→	0
					其左孩子B的平衡因子		-1	→	-1	→	-1
			其左孩子的右子树C的平衡因子		 1	→	-1	→	 0

对于平衡因子的变化，其实也不需要硬要记，可以适当举出些简单例子，即可知道，如下图：在这里插入图片描述对于“LR型”和“RL型”是比较有意思的，从上图可以对比出来，“LR型”的两种情况，分别进行平衡调整之后，插入结点的位置都是一样的。相信很多小伙伴们，可能会问在第二种情况中，第一次调整的时候已经平衡了，为什么还需要第二次调整呢？嘿嘿，我想这应该是一种方法归纳的原因吧，你们想想，我们在写代码的过程中可能会遇到各种各样的类型，如果每一种类型都用不同的调整方法，那还怎么递归，怎么调用呢？所以啊，这是将“LR型“的两种情况的调整方法统一成一个了。

不知道有没有小伙伴会疑惑为什么只有四种情况呢(LL、RR、LR、RL）？对于这个问题，小姐姐建议各位去看看这篇文章，分析、总结都挺到位的。

原链接：详解平衡二叉树的失衡类型划分及调整策略设计

3、左、右平衡处理的操作

在进行左、右平衡处理操作介绍之前，我觉得挺有必要先总结以下，以上四种类型的最小失衡子树在平衡调整前后平衡因子的变化：不管是“LL型”还是“RR型”，最终平衡因子发生变化的都是孩子和子树，并且最终平衡因子都是变成0. 另外，“LR型”和“RL型”就特殊一点，这两种类型不仅涉及到孩子和子树的平衡因子的变化，还有子树的孩子的变化。 “LR型”：可以看作是一次“左旋”

//左平衡处理

#define LH +1 	//左高
#define RH -1	//右高
#define EH 0 	//等高
void LeftBalance (BBSTree &T) {
	BBSTree lc,rd;
	lc = T->lchild;
	switch(lc->bf) {
		case LH:	T->bf = lc->bf = EH;	R_Rotate(T),break;
		case RH:	
			rd = lc->rchild;
			switch(rd->bf) {
				case LH:	T->bf = RH;	lc->bf = EH;break;
				case EH:	T->bf = lc->bf = EH;break;
				case RH:	T->bf = EH;	lc->bf = LH;break;
			}
			rd->bf = EH;
			L_Rotate(T->lchild);
			R_Rotate(T);
			break;
	}
}

右平衡：不同情况下，平衡因子变化有些不一样，但是只要属于这种类型则调整平衡方法可统一，即为：先左旋，再右旋。


//对因在右子树上新插入结点导致失衡的最小失衡子树T进行右平衡处理 
void RightBalance(BSTree &T)     //对以指针Ｔ所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理
{
	BSTree rc,ld;
	rc=T->rchild;
	//树是由平衡到失衡的，即T->bf=-2,右边插入，故不可能为2 
	//所以可以直接有T的左右孩子的平衡因子来判断是何种类型 
	switch(rc->bf)	 
	{
	/* 
	当右孩子的平衡因子为-1时，-2，-1属于“RR型”
		右孩子的平衡因子为1时，-2,1属于“RL型”
	右孩子的平衡因子不可能为0，如果右孩子平衡因子为0，T树并没有失衡	
	*/
	case RH:
		T->bf=rc->bf=EH;
		L_Rotate(T);
		break;
	case LH:	
	//到这已经可以1知道是“RL型”了，但是“RL型”的插入有三种情况
	//这三种情况只有平衡因子的变化有些不同，而调整平衡的方法统一为先右旋后左旋 
		ld=rc->lchild;
		switch(ld->bf)
		{
		case RH:T->bf=LH;rc->bf=EH;break;
		case EH:T->bf=rc->bf=EH;break;
		case LH:T->bf=EH;rc->bf=RH;break;
		}
		ld->bf=EH;
		R_Rotate(T->rchild);
		L_Rotate(T);
	}
}

4、平衡二叉树的删除操作详解

提醒：

在这里，给大家提个醒吧，一般“LL型”、“RR型”是比较固定的就是不管树是什么样的形状，只需要挑最左、最右插入即可，可是“RL型”和“LR 型”就不一样了，比如“RL型”它是在右孩子的左子树上插入结点是没错的，可是到底是在左子树的哪里插入（左、右）？左子树的原来状态是如何（-1,01）？也正因为这样，所以在右平衡处理的时候要对三种情况进行分情况讨论。

【数据结构】平衡二叉树（原理 + 旋转 + 代码详解）