AcWing 853. 有边数限制的最短路

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AcWing 853. 有边数限制的最短路

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z,表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出格式

输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
1≤x,y≤n,
任意边长的绝对值不超过 10000。

输入样例：

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3

输出样例：

3

思路

Bellman-Ford算法模板

时间复杂度 O(nm)O, n 表示点数，m 表示边数 注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge{     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ ){
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

ac代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M = 10010;
struct Edge{
    int a, b, c;
}edges[M];
int n, m, k;
int dist[N];
int last[N];
void bellman_ford(){
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i ++ ){
        memcpy(last, dist, sizeof dist);
        for (int j = 0; j < m; j ++ ){
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);
        }
    }
}
int main(){
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        edges[i] = {a, b, c}; //存边和权值
    }
    bellman_ford();
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) cout << "impossible";
    else cout << dist[n];
    return 0;
}