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经典题目-洛谷牌P1776宝物筛选

题目描述
终于，破解了千年的难题。小 F 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。这下小 F 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 F 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 F 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。小 F 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 F 有一个最大载重为 WW 的采集车，洞穴里总共有 nn 种宝物，每种宝物的价值为 vi，重量为 wi，每种宝物有 mi件。小 F 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。
输入格式
第一行为一个整数 nn和 W，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。接下来 n 行每行三个整数 vi,wi,mi
输出格式
输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。
输入输出样例
输入
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3 输出 47

多重背包问题：给定n种物品和一个背包，第i ii种物品的体积是c i ，价值为w i，并且有mi 个，背包的总容量为C。如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大?

1.多重背包问题的简单DP解法：

dp[j] = max(dp[j],dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAX = 4e4+50;
int v[MAX];
int w[MAX];
int cnt[MAX];
int dp[MAX];
int main()
{
    int N,W;
    cin >> N >> W;
    for(int i = 1;i <= N;++i){
        cin >>  v[i] >> w[i] >> cnt[i];
    }
    for(int i = 1;i <= N;++i){//枚举物品
        for(int j = W;j >= w[i];--j){//枚举价值
            for(int k = 1;k <= cnt[i];++k){//物品个数
                if(j - k * w[i] < 0)break;
                dp[j] = max(dp[j],dp[j - k * w[i]] + k * v[i]);
            }
        }
    }
    cout << dp[W];
    return 0;
}

以上这种代码会时间超限，所以需要进一步二进制拆分，去优化代码的时间复杂度（根据二进制的计算原理，任何一个十进制整数X XX，都可以用1、2、4、8、…这些2的倍数相加得到，例如25 = 16 + 8 + 1） 假设物品一共有8个，我们可以分成若干个小物件，可以把8分成1+2+4+1

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[100005],w[100005],m[100005],dp[100005];
int main() {
	int n,W;
	cin>>n>>W;
	int tx,ty,tz,cnt=0;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		cin>>tx>>ty>>tz;
		for(int j=1;j<=tz;j<<=1){
			v[++cnt]=tx*j;
			w[cnt]=ty*j;
			tz=tz-j;
		}
		if(tz){
			v[++cnt]=tx*tz;
			w[cnt]=ty*tz;
		}
	}
	for(int i=1; i<=cnt; i++) {
		for(int j=W; j>=w[i]; j--) {
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
		}
	}
	cout<<dp[W]<<endl;
	return 0;
}