64位整数乘法

题目描述

求 $a*b$ 对 $mod$ 取模的值

$1\leq a,b,mod\leq 10^{18}$

问题分析

先不考虑 $\_\_int128$

利用 $a*b\%mod=a*b-\lfloor a*b/mod\rfloor*mod$ (其中 $\lfloor \rfloor$ 表示向下取整)

记 $a*b$ 为 $x$ ， $\lfloor a*b/mod\rfloor$ 为 $y$

问题有 $2$ 个，一是如何计算出 $\lfloor a*b/mod\rfloor$ ，而是如何计算 $x-y*mod$

因为 $long\ double$ 在十进制下的有效数字有 $18$ ~ $19$ 位，当 $a,b<mod$ 时 $c$ 也一定小于 $mod$ 。所以 $long\ double$ 可以胜任，再把结果强制转换为 $unsigned\ long\ long$ 即可。 $y$ 由此计算。

因为 $a*b-c*mod$ 其实就是 $a*b\%mod\leq mod< 2^{64}$ ，所以 $a*b-c*mod=(a*b-c*mod)\%2^{64}$ ，又因为 $unsigned\ long\ long$ 溢出时相当于对 $2^{64}$ 自动取模，所以 $x-y*mod$ 由此计算。

时间复杂度为 $O(1)$

64位整数乘法模板

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;

ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    a %= mod, b %= mod;
    ull c = (long double)a * b / mod;
    ull x = a * b, y = c * mod;
    ll ans = (ll)x % mod - (ll)y % mod;
    if (ans < 0)
        ans += mod;
    return ans;
}

AcWing-90. 64位整数乘法

传送门

Problem Description

求 $a*b$ 对 $mod$ 取模的值

Tips

$1\leq a,b,mod\leq 10^{18}$

AC代码


#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a, ll b, ll mod)
{
    a %= mod, b %= mod;
    ull c = (long double)a * b / mod;
    ull x = a * b, y = c * mod;
    ll ans = (ll)x % mod - (ll)y % mod;
    if (ans < 0)
        ans += mod;
    return ans;
}

int main()
{
    ll a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << mul(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

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