快速幂

题目描述

求 $a$ 的 $b$ 次方对 $mod$ 取模的值

$1\leq a,b,mod\leq 10^9$

问题分析

每个正整数可以唯一表示为若干指数不重复的 $2$ 的次幂的和。

$b$ 在二进制表示下有 $K$ 位，其中第 $i(0\leq i < k)$ 位的数字是 $c_i$ ，那么：

$b=c_{k-1}2^{k-1}+c_{k-2}2^{k-2}+\cdots+c_02^0$

因此：

$a^b=a^{c_{k-1}2^{k-1}}*a^{c_{k-2}2^{k-2}}*\cdots*a^{c_02^0}$

也就是说如果 $b$ 的第 $i$ 位 $c_i$ 是 $0$ ，那么 $a^{c_{i}2^{i}}$ 就等于 $a^0=1$ ；如果 $c_i$ 是 $1$ ，那么就等于 $a^{2^i}$

又有 $a^{2^i}=(a^{2^{i-1}})^2$ ，而 $k=log_2(\lceil b+1\rceil)$ （ $\lceil\rceil$ 表示向上取整），故时间复杂度为 $O(log_2b)$

所以每次取 $b$ 中的 $1$ 位( $b\&1,b>>=1$ )，每次 $a$ 都平方( $a=a*a\%mod$ )，如果 $b$ 的这一位是 $1$ 就累积到 $ans$ 中。

快速幂模板

typedef long long ll;

ll power(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

如果要用int：

typedef long long ll;

int power(int a, int b, int mod)
{
    int ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ll)ans * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

AcWing-89. a^b

传送门

Problem Description

求 $a$ 的 $b$ 次方对 $mod$ 取模的值

Tips

$1\leq a,b,mod\leq 10^9$

AC代码

/*
 * @Author: LetMeFly
 * @Date: 2021-07-26 17:29:09
 * @LastEditors: LetMeFly
 * @LastEditTime: 2021-07-26 17:33:08
 */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
#define dbg(x) cout << #x << " = " << x << endl
#define fi(i, l, r) for (int i = l; i < r; i++)
#define cd(a) scanf("%d", &a)
typedef long long ll;

int power(int a, int b, int mod)
{
    int ans = 1 % mod;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            ans = (ll)ans * a % mod;
        a = (ll)a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    cin >> a >> b >> c;
    cout << power(a, b, c) << endl;
    return 0;
}

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Tisfy：letmefly.blog.csdn.net/article/det…

快速幂讲解-And-AcWing-89. a^b-《算法竞赛进阶指南》

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