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[NOIP2012 普及组] 摆花

题目描述

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 $m$ 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 $n$ 种花，从 $1$ 到 $n$ 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 $i$ 种花不能超过 $a_i$ 盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n$ 和 $m$ ，中间用一个空格隔开。

第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 $a_1,a_2, \cdots ,a_n$ 。

输出格式

一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 $10^6+7$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 4
3 2

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $20\%$ 数据，有 $0<n \le 8,0<m \le 8,0 \le a_i \le 8$ 。

对于 $50\%$ 数据，有 $0<n \le 20,0<m \le 20,0 \le a_i \le 20$ 。

对于 $100\%$ 数据，有 $0<n \le 100,0<m \le 100,0 \le a_i \le 100$ 。

NOIP 2012 普及组第三题

m 和 n 的范围都很小，不用对数字类型做特殊处理。至于如何求解，起码你得先搞懂题意，这个题目有一个对应的模板题目：“求和问题”。把题目翻译过来就是有 n 个数字，每个数字有自己的取值范围，从 0 到 ai , 求取出 n 个数字的和刚好为 m 的组合数。m 和 n 的范围都不大，为什么这个题强调了要对结果取模呢？我们先来分析一下这个问题。对比一下递推公式的推导过程：
摆花时摆当前的花时，需要在摆放完上一盆花产生的结果中进行累加由于传球游戏只能从左右两个相邻位置相加，所以数字的范围不会太大。但是摆花时，如果当前的花有 10 盆，那么当前的花摆放 0、1、2…10 产生的都是不同的结果，都需要考虑，所以可能的情况是非常多的，可能的情况多，那种对应的方案数也会大，取模就变得很必要了。
根据上述对题目的分析，递推公式也很显然了，假设状态转移都保存在数组 dp[n][m] 中，第一维表示当前对第 i 种花作分析，第二维表示当前摆放的所有的花盆数量和。递推公式如下：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i-1][j-1] + … dp[i-1][j-ai]
dp[i][j] 的含义是放第 i 种花时，花盆总数刚好是 j ，第 i 种花最多有 ai 盆，所以 dp[i-1] 中只要花盆数量大于 j - ai 的情况都能凑成 dp[i][j]。有了递推公式，问题就解决了一半了，参考代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,dp[103][103],a[103],mod = 1000007;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin>>a[i];
    dp[0][0] = 1;
    for(int i=1;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j<= m;j++)
            for(int k=0;k<=min(j,a[i]);k++)//注意这里保证 k <= j 
                dp[i][j] = (dp[i][j]+dp[i-1][j-k])%mod;


    cout<<dp[n][m];
    return 0;
}

【8月刷题打卡】摆花