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[ZJOI2013]话旧

题目描述

小林跟着银河队选手去了一趟宇宙比赛，耳濡目染，变得学术起来。回来后，他发现世界大变样了。比丘兽究级进化，成了凤凰兽；金先生因为发了一篇 paper，一跃成为教授，也成为了银河队选拔委员会成员。

一日，小林与金教授聊天。金教授回忆起过去的岁月，那些年他学过的电路原理。他曾经对一种三角波很感兴趣，并且进行了一些探究。小林感到很好奇，于是金教授就将课题形式化地说了一遍。

有一定义在 $[0,N]$ 的连续函数 $f(x)$ ，其中 $N$ 是整数，满足 $f(0)=f(N)=0$ ，它的所有极值点在整数处取到，且 $f(x)$ 的极小值均是 $0$ 。对于任意的 $0$ 到 $N-1$ 间的整数 $I$ ， $f(x)$ 在 $(I, I+1)$ 上是斜率为 $1$ 或 $-1$ 的一次函数。

金先生研究的是，若他知道其中 $K$ 个整点的函数值，那么：

有多少个函数满足条件？
满足条件的函数中， $f(x)$ 的最大值，最大能是多少？

小林思考了一下，便想出了很好的算法。那么作为经过多年训练的你呢？

输入格式

第一行包含两个用空格隔开的整数 $N,K$ 。接下来 $K$ 行，每行两个整数，表示 $x_i$ 和 $f(x_i)$ 。

输出格式

一行两个整数，分别对应两个问题的答案。考虑到第一问答案可能很大，你只要输出它除以 $19\ 940\ 417$ 的余数。

样例 #1

样例输入 #1

2 0

样例输出 #1

1 1

样例 #2

样例输入 #2

样例输出 #2

1 2

提示

对于 $10\%$ 的数据， $N \leq 10$ 。
对于 $20\%$ 的数据， $N \leq 50$ 。
对于 $30\%$ 的数据， $N \leq 100$ ， $K \leq 100$ 。
对于 $50\%$ 的数据， $N \leq 10^3$ ， $K \leq 10^3$ 。
对于 $70\%$ 的数据， $N \leq 10^5$ 。
另有 $10\%$ 的数据， $K=0$ 。
对于 $100\%$ 的数据， $0 \leq N \leq 10^9$ ， $0 \leq K \leq 10^6$ 。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=19940417,Maxn=1e6+5;
inline int read(){
	int s=0,w=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar(); 
	return s*w;
}
struct node{
	int x,y;
}a[Maxn];	
bool operator<(node a,node b){return a.x<b.x;}
bool operator==(node a,node b){return a.x==b.x&&a.y==b.y;}
int n,k,f[Maxn][2],ans;
inline int power(int a,int b){
	int dat=1;
	for(;b;b>>=1){
		if(b&1)dat=dat*a%mod;
		a=a*a%mod;
	}
	return dat;
}
signed main(){
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)a[i].x=read(),a[i].y=read();
	k++,a[k].x=0,a[k].y=0;
	k++,a[k].x=n,a[k].y=0;
	sort(a+1,a+k+1);
	k=unique(a+1,a+k+1)-a-1;
	f[1][1]=1;
	for(int i=1;i<k;i++){
		int w=(a[i+1].x-a[i].x-a[i+1].y-a[i].y)>>1;
		if(a[i+1].y-a[i].y==a[i+1].x-a[i].x)f[i+1][0]=(f[i][0]+(a[i].y?0:f[i][1]))%mod;
		else if(a[i+1].y-a[i].y==a[i].x-a[i+1].x)f[i+1][1]=(f[i][1]+f[i][0])%mod;
		else if(w<0)f[i+1][1]=(f[i][0]+(a[i].y?0:f[i][1]))%mod;
		else if(w==0)f[i+1][0]=(f[i][1]+f[i][0])%mod,f[i+1][1]=f[i][0];
		else{
			int p=power(2,w-1);
			if(a[i+1].y)f[i+1][0]=(f[i][1]+2*f[i][0])%mod*p%mod;
			f[i+1][1]=(f[i][1]+2*f[i][0])%mod*p%mod;
		}
		if(f[i+1][1]||a[i+1].y==0)ans=max(ans,(a[i+1].x-a[i].x+a[i].y+a[i+1].y)>>1);
	}
	printf("%lld %lld",f[k][1],ans);
	return 0;
}

【动态规划】话旧