AcWing 868. 筛质数

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AcWing 868. 筛质数

给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。

数据范围

1 ≤ n ≤ 10^6

输入样例：

8

输出样例：

4

诶氏筛算法

开始认为所有数都是质数。暴力枚举每个数，如果是质数，就将它所有的倍数标为非质数。

缺点会有重复筛选的现象

例子： n 为 12
遍历到 2 的时候，我们标记所有在12以内可以被 2 整除的数。这些数都不是12范围内的质数
遍历到 3 的时候，我们标记所有在12以内可以被 3 整除的数。这些数都不是12范围内的质数
遍历到 3 的时候，我们发现4被标记了，跳过
以此类推 O(nloglogn)

朴素筛法求素数模板

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
void get_primes(int n){
    for (int i = 2; i <= n; i ++ ){
        if (st[i]) continue;
        primes[cnt ++ ] = i;
        for (int j = i + i; j <= n; j += i)
            st[j] = true;
    }
}

诶氏筛代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N= 1000010;
int cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n){
    for(int i = 2;i <= n;i++){
        if(!st[i]){
            cnt++;
            for(int j = i ;j <= n;j += i){
                st[j]=true;//可以用质数就把所有的合数都筛掉；
            } 
        }
    }
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

线性筛法

让每个数被其最小质因子筛掉，这样就可以实现每个数只被筛一次。

优化了埃式筛的缺点，不重不漏的筛选每个数字

//primes数组用来存放质数
int primes[N], cnt;
//st[i], i为质数则为false否则为true
bool st[N];
void get_primes(int n){
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(!st[i]){//是质数
             primes[cnt++] = i;//存入遇到的所有质数
        }
        //假设primes[0]为n最小的质因子,i为最大的因数，
        //易知若primes[i]中i>0,则会进入循环后产生多余的标记。
        for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++){ 
            //标记;primes[j]一定是primes[j]*i的最小质因子
            st[primes[j]*i] = true;
            //表明primes[j]一定是i的最小质因子,没有必要再遍历,primes要小于等于i的最小质因子
            //这样能保证每个数遍历一遍,而没有重复
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }
}

O(n)

线性筛法求素数模板题

int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数 bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉 void get_primes(int n){ for (int i = 2; i <= n; i ++ ){ if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i; for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ){ st[primes[j] * i] = true; if (i % primes[j] == 0) break; } } }

线性筛代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N= 1000010;
int primes[N],cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n){
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]) primes[cnt++]=i;
        for(int j = 0;primes[j] <= n / i;j++){
            st[primes[j]*i]=true;
            cout << 1 << endl;
            if(i % primes[j] == 0) break;
        }
    }

}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    get_primes(n);
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}