看一遍就会:0-1 背包问题

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基本介绍

今天就来说一下背包问题吧,就讨论最常说的 0-1 背包问题,简单描述一下吧:

给你一个可装载重量为W的背包和N个物品,每个物品有重量和价值两个属性。其中第i个物品的重量为wt[i],价值为val[i],现在让你用这个背包装物品,最多能装的价值是多少?

举个简单的例子,输入如下:

N = 3, W = 4
wt = [213]
val = [423]
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算法返回 6,选择前两件物品装进背包,总重量 3 小于W,可以获得最大价值 6。

题目就是这么简单,一个典型的动态规划问题。这个题目中的物品不可以分割,要么装进包里,要么不装,不能说切成两块装一半。 这也许就是 0-1 背包这个名词的来历。

解决这个问题没有什么排序之类巧妙的方法,只能穷举所有可能。

分析

看来我得每篇动态规划文章都得重复一遍套路,历史文章中的动态规划问题都是按照下面的套路来的,今天再来手把手演示一下:

第一步:要明确两点,「状态」和「选择」

先说状态,如何才能描述一个问题局面?只要给定几个可选物品和一个背包的容量限制,就形成了一个背包问题,对不对?所以状态有两个,就是「背包的容量」和「可选择的物品」

再说选择,也很容易想到啊,对于每件物品,你能选择什么?选择就是「装进背包」或者「不装进背包」嘛

明白了状态和选择,动态规划问题基本上就解决了,只要往这个框架套就完事儿了:

for 状态1 in 状态1的所有取值:
    for 状态2 in 状态2的所有取值:
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1,选择2...)
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第二步:要明确dp数组的定义。

dp数组是什么?其实就是描述问题局面的一个数组。换句话说,我们刚才明确问题有什么「状态」,现在需要用dp数组把状态表示出来。

首先看看刚才找到的「状态」,有两个,也就是说我们需要一个二维dp数组,一维表示可选择的物品,一维表示背包的容量。

dp[i][w]的定义如下:对于前i个物品,当前背包的容量为w,这种情况下可以装的最大价值是dp[i][w]

比如说,如果 dp[3][5] = 6,其含义为:对于给定的一系列物品中,若只对前 3 个物品进行选择,当背包容量为 5 时,最多可以装下的价值为 6。

PS:为什么要这么定义?便于状态转移,或者说这就是套路,记下来就行了。建议看一下我们的动态规划系列文章,几种动规套路都被扒得清清楚楚了。

根据这个定义,我们想求的最终答案就是 dp[N][W]。base case 就是dp[0][..] = dp[..][0] = 0,因为没有物品或者背包没有空间的时候,能装的最大价值就是 0。

细化上面的框架:

int dp[N+1][W+1]
dp[0][..] = 0
dp[..][0] = 0

for i in [1..N]:
    for w in [1..W]:
        dp[i][w] = max(
            把物品 i 装进背包,
            不把物品 i 装进背包
        )
return dp[N][W]
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第三步 ,根据「选择」,思考状态转移的逻辑

简单说就是,上面伪码中「把物品i装进背包」和「不把物品i装进背包」怎么用代码体现出来呢?

这一步要结合对 dp数组的定义和我们的算法逻辑来分析:

先重申一下刚才我们的dp数组的定义:

dp[i][w]表示:对于前i个物品,当前背包的容量为w时,这种情况下可以装下的最大价值是dp[i][w]

如果你没有把这第 i个物品装入背包,那么很显然,最大价值dp[i][w]应该等于dp[i-1][w]。你不装嘛,那就继承之前的结果。

如果你把这第 i个物品装入了背包,那么dp[i][w]应该等于dp[i-1][w-wt[i-1]] + val[i-1]

首先,由于i是从 1 开始的,所以对valwt的取值是i-1

dp[i-1][w-wt[i-1]]也很好理解:你如果想装第i个物品,你怎么计算这时候的最大价值?换句话说,在装第 i个物品的前提下,背包能装的最大价值是多少?

显然,你应该寻求剩余重量w-wt[i-1]限制下能装的最大价值,加上第i个物品的价值val[i-1],这就是装第i个物品的前提下,背包可以装的最大价值。

综上就是两种选择,我们都已经分析完毕,也就是写出来了状态转移方程,可以进一步细化代码:

for i in [1..N]:
    for w in [1..W]:
        dp[i][w] = max(
            dp[i-1][w],
            dp[i-1][w - wt[i-1]] + val[i-1]
        )
return dp[N][W]
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最后一步 ,把伪码翻译成代码,处理一些边界情况

int knapsack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {
    int[][] dp = new int[N][W];
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int w = 1; w <= W; w++) {
            if (w - wt[i-1] < 0) {
                // 当前背包容量装不下,只能选择不装入背包\
                dp[i][w] = dp[i - 1][w];
            } else {
                // 装入或者不装入背包,择优
                dp[i][w] = max(dp[i - 1][w - wt[i-1]] + val[i-1], 
                               dp[i - 1][w]);
            }
        }
    }
    return dp[N][W];
}
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至此,背包问题就解决了。相比而言,我觉得这是比较简单的动态规划问题,因为状态转移的推导逻辑比较容易想到,基本上你明确了dp数组的定义,就可以理所当然地确定状态转移了。

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