【C/C++】53. 最大子数组和携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第10天，点击查看

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题目链接：53. 最大子数组和

题目描述

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

提示:

$1 \leqslant nums.length \leqslant 10^5$
$-10^4 \leqslant nums[i] \leqslant 10^4$

示例 1：

输入： nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入： nums = [1]
输出： 1

示例 3：

输入： nums = [5,4,-1,7,8]
输出： 23

整理题意

题目给定一个整数数组，让我们返回数组中的连续子数组和的最大值。

要求子数组至少包含一个元素，也就是子数组不能为空。

解题思路分析

首先观察题目数据范围为 $10^5$ 以内，如果暴力枚举所有连续子数组，时间复杂度为 $O(n^2)$ ，会超时 TLE。

由于题目要求返回的是连续子数组，我们可以 枚举连续子数组的右端点位置 来寻找和最大的连续子数组。我们用 dp[i] 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」，那么很显然我们要求的答案就是 dp[i]（0 <= i < n）中的最大值，因此我们只需要求出每个位置的 dp[i]，然后返回 dp 数组中的最大值即可。

定义了 dp[i] 之后考虑转移方程，由于题目要求子数组连续，所以我们只需考虑对于当前的 nums[i] 和上一个数 nums[i - 1]，考虑让 nums[i] 加入 nums[i - 1] 还是单独成为一段，由于题目要求最大和，所以这取决于加入 nums[i - 1] 和单独成为一段的最大和哪一个更大。

那么可知对于前面以 nums[i - 1] 结尾的「连续子数组的最大和」 dp[i - 1] 如果为负数或零（和小于等于零的）都是对 dp[i] 都是没有贡献的，我们直接让 nums[i] 单独成为一段更好。

需要注意连续子数组不能为空，也就是如果数组中的元素都是负数，答案是可以为负数的。

具体实现

定义 dp[i] 为以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」
转移方程为： $dp[i] = max(dp[i−1] + nums[i], nums[i])$
初始化边界 dp[0] = nums[0];
记录 dp[i]（0 <= i < n）中的最大值并返回。

由于 dp[i] 只和 dp[i - 1] 相关，于是我们可以只用一个变量 dp 来维护对于当前 dp[i] 的 dp[i - 1] 的值是多少，从而让空间复杂度降低到 $O(1)$ ，这有点类似 「滚动数组」 的思想。

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$ ，其中 n 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
空间复杂度： $O(1)$ 。只需要常数空间。

代码实现

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        //初始化边界
        int dp = nums[0];
        //ans记录最大值
        int ans = nums[0];
        //递推求最大值
        for(int i = 1; i < n; i++){
            dp = max(dp + nums[i], nums[i]);
            ans = max(ans, dp);
        }
        return ans;
    }
};

总结

该题核心在于 枚举连续子数组的右端点位置 ，从而定义 dp[i] 代表以第 i 个数结尾的「连续子数组的最大和」为关键步骤。
考虑转移方程时，由于 i 时从小到大递推的，在求 dp[i] 的时候 dp[i - 1] 已经求出，从而 dp[i - 1] 是 dp[i] 的子问题。
该题还有更为进阶的精妙 分治法 求解。「分治法」相较于「动态规划」来说，时间复杂度相同，但是因为使用了递归，并且维护了四个信息的结构体，运行的时间略长，空间复杂度也不如动态规划优秀，而且难以理解。对于这道题而言，确实是「动态规划」更优。
「分治法」存在的意义在于它不仅可以解决区间 [0, n-1]，还可以用于解决任意的子区间 [l,r] 的问题。如果我们把 [0, n-1] 分治下去出现的所有子区间的信息都用堆式存储的方式记忆化下来，即建成一颗真正的树之后，我们就可以在 $O(\log n)$ 的时间内求到任意区间内的答案，我们甚至可以修改序列中的值，做一些简单的维护，之后仍然可以在 $O(\log n)$ 的时间内求到任意区间内的答案，对于大规模查询的情况下，「分治法」的优势便体现了出来。这棵树的数据结构就是 线段树。
测试结果：

结束语

很多人都渴望自己能变得更出色，但无论你想要做成什么事，都没有捷径。所有看似风光的背后，都藏着无尽的汗水；所有令人羡慕的成就背后，都是不一般的自律。生活终会奖赏一个自律的人。新的一天，加油！