点乘

点乘(Dot Product)又叫内积。

在空间中有两个向量：$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ ，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$之间的夹角为 $\theta$。

从代数角度计算，点乘是对两个向量对应位置上的值相乘再相加的操作：

从几何角度计算，点乘是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

几何意义：点乘表示 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影与 $\lvert\vec{b}\rvert$ 的乘积，反映两个向量在方向上的相似度，结果越大越相似。

根据点乘的结果我们可以得到如下结论：

1. 若 $\vec{a}\cdot\vec{b} > 0$，则表示两向量方向基本相同，夹角在 $0^\circ$~$90^\circ$ 之间
2. 若 $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$，则表示两向量正交，互相垂直
3. 若 $\vec{a}\cdot\vec{b} < 0$，则表示两向量方向基本相反，夹角在 $90^\circ$~$180^\circ$ 之间

如果我们需要$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量 $\vec{p}$，则：

叉乘

叉乘(Cross Product)又称向量积（Vector Product）。

在空间中有两个向量：$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$ ，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$之间的夹角为 $\theta$。

从代数角度计算：

从几何角度计算：

其中 $\vec{n}$ 为 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 所构成平面的单位法向量。

其运算结果是一个向量，并且与这两个向量都垂直，是这两个向量所在平面的法线向量。使用右手定则确定其方向。

几何意义：如果以向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 为边构成一个平行四边形，那么这两个向量外积的模长与这个平行四边形的面积相等。

参考

1. 知乎-向量点乘与叉乘的概念及几何意义