Lecture 01 Overview of Computer Graphics
讲了图形学的应用，比如游戏、电影特效、动画、仿真、VR 等等；
101 主要包括四个部分：
光栅化（opengl 和 shader 是怎么运作的）
曲线和栅格
光线追踪
动画 & 模拟
不会讲图形库 api，如 opengl，其实就是原理性的东西；
Lecture 02 Review of Linear Algebra
图形学包括很多学科的内容
数学：线性代数、微积分、统计学；
物理：力学、光学；
其它：信号处理、数值分析；
一定的审美能力；
向量标准化
∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ||\vec{a}|| ∣∣ a ∣∣ 单位向量 ；单位向量可以表示为：a ^ = a ⃗ / ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ \hat{a}=\vec{a}/||\vec{a}|| a ^ = a /∣∣ a ∣∣
通常可以用一个单位向量表示方向；
会有一些向量的计算，比如求两个向量的和，也就是把两个向量的头尾坐标相加，即可获得结果向量；
向量加法
一般表示为 A = 4 x + 3 y A=4x+3y A = 4 x + 3 y 容易计算向量的长度 （勾股定理），貌似这个很重要；
向量乘法-点乘（Vector Multiplication - Dot Product）：
一般表示为a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ c o s θ \vec{a}·\vec{b}=||\vec{a}||||\vec{b}||cosθ a ⋅ b = ∣∣ a ∣∣∣∣ b ∣∣ cos θ
右边是向量长度和夹角的数字乘法，因此可以将等式转换成这样 a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ = c o s θ \frac{\vec{a}·\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}=cosθ ∣∣ a ∣∣∣∣ b ∣∣ a ⋅ b = cos θ
假如已知的向量是单位向量（长度为 1），那求夹角就更简单了 a ⃗ ⋅ b ⃗ = c o s θ \vec{a}·\vec{b}=cosθ a ⋅ b = cos θ
点乘满足交换律、结合律、分配律 ；
计算方法 ：a ⃗ ⋅ b ⃗ = ( x a y a z a ) ( x b y b z b ) = x a x b + y a y b + z a z b \vec{a}·\vec{b}=
\begin{pmatrix}
x_a \\
y_a \\
z_a \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_b \\
y_b \\
z_b \\
\end{pmatrix}
=x_ax_b+y_ay_b+z_az_b a ⋅ b = ⎝ ⎛ x a y a z a ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x b y b z b ⎠ ⎞ = x a x b + y a y b + z a z b 应用上，除了刚才提到的计算两个向量的夹角 ，还有就是可以计算一个向量到另一个向量的投影向量长度 ；
含义上，点乘可以测量两个两个向量有多么接近、分解向量、还可以判断某两个向量的方向关系（相同、相反、垂直）；
向量乘法-叉乘（Vector Multiplication - Cross Product）：
意味着求 a 和 b 所在平面的一个法向量，法向量的方向满足右手螺旋定则，即用右手四指表示从 a 旋转到 b 的方向，然后拇指所指方向就是这个法向量的方向；
公式：
交换律 a × b = − b × a a×b=-b×a a × b = − b × a **结果向量长度 **∣ ∣ a × b ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ s i n φ ||a×b||=||a||||b||sinφ ∣∣ a × b ∣∣ = ∣∣ a ∣∣∣∣ b ∣∣ s in φ
同方向单位向量的叉积 a ⃗ × a ⃗ = 0 ⃗ \vec{a}×\vec{a}=\vec{0} a × a = 0 结合律、分配律 ：除了交换律需要加个负号之外，结合律、分配律都是满足的；
矩阵形式 ：叉积可以表现成矩阵形式 a ⃗ × b ⃗ = A ∗ b = ( 0 − z a y a z a 0 − x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec{a}×\vec{b}=
A*b=
\begin{pmatrix}
0 & -z_a & y_a \\
z_a & 0 & -x_a \\
-y_a & x_a & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_b \\
y_b \\
z_b \\
\end{pmatrix} a × b = A ∗ b = ⎝ ⎛ 0 z a − y a − z a 0 x a y a − x a 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x b y b z b ⎠ ⎞ a ⃗ × b ⃗ = ( y a z b − z a y b z a x b − x a z b x a y b − y a x b ) \vec{a}×\vec{b}=
\begin{pmatrix}
y_az_b-z_ay_b \\
z_ax_b-x_az_b \\
x_ay_b-y_ax_b \\
\end{pmatrix} a × b = ⎝ ⎛ y a z b − z a y b z a x b − x a z b x a y b − y a x b ⎠ ⎞
作用：
判断向量的左右位置：右手螺旋定则，如果 a ⃗ × b ⃗ \vec{a}×\vec{b} a × b
判断法向量的内外；
p ⃗ = ( p ⃗ ⋅ u ⃗ ) u ⃗ + ( p ⃗ ⋅ v ⃗ ) v ⃗ + ( p ⃗ ⋅ w ⃗ ) w ⃗ \vec{p}=
(\vec{p}·\vec{u})\vec{u}+
(\vec{p}·\vec{v})\vec{v}+
(\vec{p}·\vec{w})\vec{w} p = ( p ⋅ u ) u + ( p ⋅ v ) v + ( p ⋅ w ) w 搜了一下理解了，其实这里是通过求得三个投影向量，最后相加得出原向量 p。首先 u、v、w 是三个坐标轴上的单位向量，回想之前点乘的公式a ⃗ ⋅ b ⃗ ∣ ∣ a ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ b ⃗ ∣ ∣ = c o s θ \frac{\vec{a}·\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}=cosθ ∣∣ a ∣∣∣∣ b ∣∣ a ⋅ b = cos θ p ⃗ ⋅ u ⃗ ∣ ∣ p ⃗ ∣ ∣ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = c o s θ \frac{\vec{p}·\vec{u}}{||\vec{p}||||\vec{u}||}=cosθ ∣∣ p ∣∣∣∣ u ∣∣ p ⋅ u = cos θ p ⃗ ⋅ u ⃗ = c o s θ ∣ ∣ p ⃗ ∣ ∣ \vec{p}·\vec{u}=cosθ||\vec{p}|| p ⋅ u = cos θ ∣∣ p ∣∣ ∣ ∣ p ⃗ ∣ ∣ ||\vec{p}|| ∣∣ p ∣∣ p ⃗ ⋅ u ⃗ \vec{p}·\vec{u} p ⋅ u u ⃗ \vec{u} u u ⃗ \vec{u} u
矩阵（Matrix）
矩阵乘法 ：( M × N ) ( N × P ) = ( M × P ) (M×N)(N×P)=(M×P) ( M × N ) ( N × P ) = ( M × P ) 计算积矩阵中 i, j 位置的值：直接求矩阵 1 第 i 行和矩阵 2 第 j 列的点积 ；
矩阵乘法 ：交换律不成立，结合律和分配律都是成立的，尤其结合律比较有用；转置矩阵 ：如图，有一个性质，矩阵积的转置等于其各自转置后调换顺序的积，( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T ( A B ) T = B T A T
单位矩阵 ：I 3 × 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) I_{3×3}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} I 3 × 3 = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ 逆矩阵 ：结合单位矩阵，它有几个性质；
A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1}=A^{-1}A=I A A − 1 = A − 1 A = I ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1
向量乘法转矩阵乘法 ：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = a ⃗ T b ⃗ = ( x a y b z c ) ( x a y b z c ) \vec{a}·\vec{b}=\vec{a}^T\vec{b}=\begin{pmatrix}
x_a & y_b & z_c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_a \\
y_b \\
z_c \\
\end{pmatrix} a ⋅ b = a T b = ( x a y b z c ) ⎝ ⎛ x a y b z c ⎠ ⎞ a ⃗ × b ⃗ = A ∗ b = ( 0 − z a − y a z a 0 x a − y a x a 0 ) ( x b y b z b ) \vec{a}×\vec{b}=A^*b=\begin{pmatrix}
0 & -z_a & -y_a \\
z_a & 0 & x_a \\
-y_a & x_a & 0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_b \\
y_b \\
z_b \\
\end{pmatrix} a × b = A ∗ b = ⎝ ⎛ 0 z a − y a − z a 0 x a − y a x a 0 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x b y b z b ⎠ ⎞ A ∗ A^* A ∗
Lecture 03 Transformation
2D 变换（2D Transforms）
缩放（Scale）
数学公式可以表达为：x ′ = s x x'=sx x ′ = s x y ′ = s y y'=sy y ′ = sy
显然这个公式可以转换为矩阵形式：( x ′ y ′ ) = ( s 0 0 s ) ( x y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( s 0 0 s ) ( x y )
切变（Shear）
有点类似倾斜？webgl 那本书就没讲到这个，这里我们用图来推论它的公式；
显然，在变换前后，y 坐标是不变的；
y = 0 时，x 坐标是没有发生变化的；
y = 1 时，假设 x 坐标向右偏移了 a 距离，此时形状左端的 x 坐标为 a，右端的 x 坐标就是 a+1；
考虑到它是一个均匀的变化，当 y = 1/2 时，x 轴的偏移距离则为 a/2，形状左端的 x 坐标则为 a/2，右端的坐标则为 a/2+1；
此时我们推断数学公式：x ′ = x + a y x'=x+ay x ′ = x + a y y ′ = y y'=y y ′ = y
转化为矩阵形式：( x ′ y ′ ) = ( 1 a 0 1 ) ( x y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( 1 0 a 1 ) ( x y )
旋转（Rotate）
用一个特殊点来推断通用的公式，图示为点 (1, 0) 旋转 θ 角的情况，可得 cosθ 对应矩阵位置 A，sinθ 对应矩阵位置 C；同理 B 位置对应的是 -sinθ，D 位置对应的是 cosθ；
即：( x ′ y ′ ) = ( c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ) ( x y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( cos θ s in θ − s in θ cos θ ) ( x y )
推导：线性变化都可以用矩阵来表示，但我们必须找到一个相同维度的矩阵，也就是将其表示在同一个矩阵中，如何？
齐次坐标**（Homogeneous coodinates）**
平移（Translation）
是最特殊的一种变换，因为它不能写成上面那些单纯的矩阵相乘形式，他必须加上一个常数；
因为它要加上常数，不能用乘法表示，所以平移不属于线性变化 ；
人们不想把平移当成一种特殊用例，所以如何将它们都进行通用的表示呢？
数学公式：x ′ = x + t x x'=x+t_x x ′ = x + t x y ′ = y + t y y'=y+t_y y ′ = y + t y
矩阵形式：
( x ′ y ′ ) = ( a b c d ) ( x y ) + ( t x t y ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
t_x \\
t_y \\
\end{pmatrix} ( x ′ y ′ ) = ( a c b d ) ( x y ) + ( t x t y )
齐次坐标（Homogeneous coodinates）
根据平移的矩阵公式扩充为：( x ′ y ′ w ′ ) = ( 1 0 t x 0 1 t y 0 0 1 ) ( x y 1 ) = ( x + t x y + t y 1 ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
w' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+t_x \\
y+t_y \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x ′ y ′ w ′ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 t x t y 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ x + t x y + t y 1 ⎠ ⎞
探讨齐次坐标的意义；
第一，引入 w 分量来表示平移，其中需要区分向量和点的表示，向量表示为( x , y , 0 ) (x, y, 0) ( x , y , 0 ) ( x , y , 1 ) (x, y, 1) ( x , y , 1 ) 向量具有平移不变性 ，所以不需要考虑它的平移属性，置为 0 即可；
第二，w 分量还包含点、向量之间加减法的实际意义，比如：
v e c t o r + v e c t o r = v e c t o r vector+vector=vector v ec t or + v ec t or = v ec t or v e c t o r + p o i n t = p o i n t vector+point=point v ec t or + p o in t = p o in t p o i n t − p o i n t = v e c t o r point-point=vector p o in t − p o in t = v ec t or p o i n t + p o i n t = p o i n t point+point=point p o in t + p o in t = p o in t ( x / w y / w 1 ) \begin{pmatrix}
x/w \\
y/w \\
1
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x / w y / w 1 ⎠ ⎞
仿射变换（Affine Transformations）
仿射变换（Affine Transformations）
线性变化（旋转、切变、缩放）+平移，给他一个新名字叫做仿射变换 ；
用齐次坐标表示仿射变换：( x ′ y ′ w ′ ) = ( a b t x c d t y 0 0 1 ) ( x y 1 ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
w' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b & t_x \\
c & d & t_y \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x ′ y ′ w ′ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a c 0 b d 0 t x t y 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y 1 ⎠ ⎞
逆变换（Inverse Transform）
逆变换反应到数学上，就是乘上变换的逆矩阵；
复杂变换分解（Decomposing Complex Transforms），比如下图中的正方形，我想让他绕 c 点旋转，那就可以先将 c 点平移回原点，再将正方形旋转，然后乘上刚才平移的逆矩阵，就可以实现了；
组合变换（Compose Transform）
表现为矩阵相乘，会发现，变换的顺序不同，变换的结果也不同，这一点对应了之前矩阵乘法不满足交换律的知识（用矩阵去代表图形变换很巧妙，变换和数学意义有很多是一一对应的）；
用矩阵乘法表示变换时，应用变换的方向是从右向左 的；
变换可以组合多个；
3D 变换（3D Transforms）
齐次坐标
三维增加了一个维度，但各种变换与二维情况下并无区别，向量就可以表示为( x , y , z , 0 ) (x, y, z, 0) ( x , y , z , 0 ) ( x , y , z , 1 ) (x, y, z, 1) ( x , y , z , 1 )
矩阵表示变为( x ′ y ′ z ′ w ′ ) = ( a b c t x d e f t y g h i t z 0 0 0 1 ) ( x y z 1 ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
w' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b & c & t_x \\
d & e & f & t_y \\
g & h & i & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x ′ y ′ z ′ w ′ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a d g 0 b e h 0 c f i 0 t x t y t z 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y z 1 ⎠ ⎞
平移和线性变换，哪个先进行？在 2D 变换中，我们在推导出需要使用 w 分量之前，数学式是下图，可以发现平移是加法，所以是先进行线性变换，再进行平移；
Lecture 04 Transformation Cont.
题外话
旋转矩阵逆变化的推导
旋转矩阵的公式是这样的：R θ = ( c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ) ( x y ) R_θ
=
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} R θ = ( cos θ s in θ − s in θ cos θ ) ( x y )
它的逆矩阵 就是旋转 -θ 度，可以表示为：R − θ = ( c o s θ s i n θ − s i n θ c o s θ ) ( x y ) R_{-θ}
=
\begin{pmatrix}
cosθ & sinθ \\
-sinθ & cosθ \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} R − θ = ( cos θ − s in θ s in θ cos θ ) ( x y )
而旋转矩阵的转置矩阵 ，也是这样表示：R θ T = ( c o s θ − s i n θ s i n θ c o s θ ) ( x y ) R_θ^T
=
\begin{pmatrix}
cosθ & -sinθ \\
sinθ & cosθ \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} R θ T = ( cos θ s in θ − s in θ cos θ ) ( x y )
可以得出一个定理，旋转矩阵的逆矩阵跟转置矩阵相同；
在数学上，逆矩阵等于转置矩阵的情况，有一个专门的名词表示：正交矩阵 ；
3D 变换（3D Transforms）
书接上回
3D 缩放 ：很简单，加一个坐标( x ′ y ′ z ′ ) = ( s x 0 0 0 s y 0 0 0 s z ) ( x y z ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & s_z \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x ′ y ′ z ′ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ s x 0 0 0 s y 0 0 0 s z ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ 3D 平移 ：很简单，加一个坐标( x ′ y ′ z ′ w ′ ) = ( 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ) ( x y z 1 ) \begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z' \\
w' \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x ′ y ′ z ′ w ′ ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t x t y t z 1 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ x y z 1 ⎠ ⎞
3D 旋转（3D Rotations）
先按照 2D 上的情况来拓展
绕 x 轴旋转时，x 轴坐标是不变的，那就将 x 轴所表示的行列忽视掉，设为单位矩阵的形式（1, 0, 0）；
绕 z 轴旋转同理，将 z 轴的行列去掉；
绕 y 轴这里，本质相同，也是将 y 轴行列去掉，但理解上有些不同；
如图所示，根据右手螺旋定则，绕 x 轴旋转是从 y 转到 z，它们叉乘之后正方向就是 x 轴所在方向；同理 z 轴也可以这样推出；但 y 轴不同，从 z 轴转到 x 轴，叉乘结果是 y 轴的负方向 ，所以按这个理解，绕 y 轴旋转的变化矩阵就是R − y R_{-y} R − y 旋转的逆矩阵；
Rodrigues' Rotation Formula
R ( n , α ) = c o s ( α ) I + 1 − c o s ( α ) n n T + s i n ( α ) ( 0 − n z n y n z 0 − n x − n y n x 0 ) ⏟ N R(n,α)=cos(α)I+1-cos(α)nn^T+sin(α)
\underbrace{\begin{pmatrix}
0 & -n_z & n_y \\
n_z & 0 & -n_x \\
-n_y & n_x & 0 \\
\end{pmatrix}}_{N} R ( n , α ) = cos ( α ) I + 1 − cos ( α ) n n T + s in ( α ) N ⎝ ⎛ 0 n z − n y − n z 0 n x n y − n x 0 ⎠ ⎞ 推导过程很复杂；
图中说的 n 轴是指可以只用一个向量表示；
如果非要以不过原点的轴旋转，则可以将轴平移到过原点的位置，操作完旋转后，再用平移的逆变换移回原位；
视图/相机变换（View / Camera Transformation）
包含模型变换（Model Transformation）、视图变换（View Transformation）、投影变换（Projection Transformation）；
定义相机位置：
相机位置（Position）； 观测方向（Look-at Direction）； 上方向（Up Direction）；
相机与物体的相对关系：
相机与物体的位置是相对的，也就是说同样的变换，摄像机变换和物体变换都能做到相同的效果；
因此为了简化理解，则固定摄像机的位置，只变换物体的位置；
默认方向一般是将相机放在原点位置，以 Y 轴为上方向，-Z 轴为观测方向 ；
如果有任意的相机位置，如何将其移到默认位置？
将起始点 e 移到原点；
将观测方向 g 旋转到 -Z 轴；
将上方向 t 旋转到 Y 轴；
g × t 的方向也会自动旋转到 X 轴上；
4 中的推演如何写成矩阵形式？
直接写 g 旋转到 -Z 这种不好写，转换思路，可以把三个变换的逆变换都写出来，比如 -Z 到某某某向量的旋转，这样比较好求；
本课之初知道了旋转矩阵是正交矩阵，逆矩阵=转置矩阵，所以可以在求完三个逆旋转之后，求其转置矩阵，再结合上最后的平移变换，就是最终的公式了；
先求旋转逆矩阵：R v i e w − 1 = ( x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ) R^{-1}_{view}=\begin{pmatrix}
x_{\hat{g}×\hat{t}} & x_t & x_{-g} & 0 \\
y_{\hat{g}×\hat{t}} & y_t & y_{-g} & 0 \\
z_{\hat{g}×\hat{t}} & z_t & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} R v i e w − 1 = ⎝ ⎛ x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞
求转置矩阵，得到正确的旋转矩阵：R v i e w = ( x g ^ × t ^ y g ^ × t ^ z g ^ × t ^ 0 x t y t z t 0 x − g y − g z − g 0 0 0 0 1 ) R_{view}=\begin{pmatrix}
x_{\hat{g}×\hat{t}} & y_{\hat{g}×\hat{t}} & z_{\hat{g}×\hat{t}} & 0 \\
x_t & y_t & z_t & 0 \\
x_{-g} & y_{-g} & z_{-g} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} R v i e w = ⎝ ⎛ x g ^ × t ^ x t x − g 0 y g ^ × t ^ y t y − g 0 z g ^ × t ^ z t z − g 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞
最终再结合上平移矩阵即可；
投影变换（Projection Transformation）
分为正交投影（Orthorgraphic Projection）与透视投影（Perspective Projection） ；
正交投影不会带来近大远小的现象，透视投影才会；
正交投影通常用于工程制图领域；
正交投影
将摄像机放在初始位置（原点、观测方向为 -Z、上方向为 Y）；
在正交投影下，这样就可以忽视掉 Z 轴的存在，因为 z 坐标怎么变投影结果都是一样的；
将 Z 轴扔到不便数学表达；
下面需要找一种容易描述的方式；
通常我们会将一个长方体映射到一个**标准立方体（Canonical Cude）**上；
先将中心点移到坐标系原点，然后再将各边拉伸到 [0, 1]、[0, -1] 等位置；
这里的 [l, r]、[b, t]、[f, n] 是指某一个面的中心点，分别对应左右、底顶、远近；
由于观测方向是 -Z，所以离摄像机近的 z 坐标反而大，所以 n >= f，有些不便理解；
OpenGL 用左手系，就可以规避这个问题，但是左手系存在别的问题；
透视投影
特征：使用最广泛、近大远小、平行线不再平行；
复习：齐次坐标中，对所有分量乘同一个数，表示的都是同一个点；
如何实现： 1）与正交投影一样，定义远近两个平面，但透视投影中，远平面会更大一些；
2）将远平面挤压成跟近平面一样的大小；
3）再对两个平面做正交投影；
这样将透视投影拆分成了两个步骤，更好理解；
看下图，我们的目的是要将远平面压缩成近平面的大小，这样可以构造出一对相似三角形；
假设目标平面的 Z 坐标是 n，则两平面 Z 坐标之比为n z \frac{n}{z} z n
相似三角形各边之比相等，因此x ′ = n z x x'=\frac{n}{z}x x ′ = z n x y ′ = n z y y'=\frac{n}{z}y y ′ = z n y
把 x, y, z 表示为齐次坐标中的一个点( x y z 1 ) \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x y z 1 ⎠ ⎞ ( n x / z n y / z u n k n o w n 1 ) \begin{pmatrix}
nx/z \\
ny/z \\
unknown \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ n x / z n y / z u nkn o w n 1 ⎠ ⎞
在齐次坐标中，四个分量同时乘同一个数，仍是同一个点，因此得到( n x n y s t i l l u n k n o w n z ) \begin{pmatrix}
nx \\
ny \\
still unknown \\
z \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ n x n y s t i ll u nkn o w n z ⎠ ⎞
所以可以知道，如果要把远平面的点( x y z 1 ) \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z \\
1 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x y z 1 ⎠ ⎞ ( n x n y s t i l l u n k n o w n z ) \begin{pmatrix}
nx \\
ny \\
still unknown \\
z \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ n x n y s t i ll u nkn o w n z ⎠ ⎞ M p e r s p → o r t h o M_{persp \rightarrow ortho} M p ers p → or t h o
这样就可以推断，M p e r s p → o r t h o M_{persp \rightarrow ortho} M p ers p → or t h o ( n 0 0 0 0 n 0 0 ? ? ? ? 0 0 1 0 ) \begin{pmatrix}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
? & ? & ? & ? \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ n 0 ? 0 0 n ? 0 0 0 ? 1 0 0 ? 0 ⎠ ⎞
接下来是两个观察：
近平面上的点，挤压完仍是同一个点；
远平面上点的 z 坐标，挤压完仍是不变的；
**近平面：**如果有一个近平面上的点，它就可以这样转化：( x y n 1 ) → ( x y n 1 ) = = ( n x n y n 2 n ) \begin{pmatrix}
x \\
y \\
n \\
1 \\
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
n \\
1 \\
\end{pmatrix}
==
\begin{pmatrix}
nx \\
ny \\
n^2 \\
n \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ x y n 1 ⎠ ⎞ → ⎝ ⎛ x y n 1 ⎠ ⎞ == ⎝ ⎛ n x n y n 2 n ⎠ ⎞
将这个特殊的 case 代进之前的矩阵公式中：M p e r s p → o r t h o ( x y n 1 ) = ( n x n y n 2 n ) M_{persp \rightarrow ortho}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
n \\
1 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
nx \\
ny \\
n^2 \\
n \\
\end{pmatrix} M p ers p → or t h o ⎝ ⎛ x y n 1 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ n x n y n 2 n ⎠ ⎞
对照乘积中的n 2 n^2 n 2 n 2 n^2 n 2
这里推出的公式可以简化为：A n + B = n 2 An+B=n^2 A n + B = n 2
**远平面：**这次的特殊 case 是远平面的中心点，它挤压之后所有坐标都不会变；
可得推论：( 0 0 f 1 ) → ( 0 0 f 1 ) = = ( 0 0 f 2 f ) \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
f \\
1 \\
\end{pmatrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
f \\
1 \\
\end{pmatrix}
==
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
f^2 \\
f \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ 0 0 f 1 ⎠ ⎞ → ⎝ ⎛ 0 0 f 1 ⎠ ⎞ == ⎝ ⎛ 0 0 f 2 f ⎠ ⎞
代入矩阵公式，顺便简化一下得：A f + B = f 2 Af+B=f^2 A f + B = f 2
结合两个公式解得：A = n + f A=n+f A = n + f B = − n f B=-nf B = − n f
所以最终的矩阵就是：( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) \begin{pmatrix}
n & 0 & 0 & 0 \\
0 & n & 0 & 0 \\
0 & 0 & n+f & -nf \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f 1 0 0 − n f 0 ⎠ ⎞
别急，M p e r s p → o r t h o M_{persp \rightarrow ortho} M p ers p → or t h o
加上正交投影应该是这样：M p e r s p = M o r t h o M p e r s p → o r t h o M_{persp}=M_{ortho}M_{persp \rightarrow ortho} M p ers p = M or t h o M p ers p → or t h o
**作业：**对于 z 在 n 和 f 中间的一个点，比如 (n+f)/2，它在挤压后是离远平面近还是近平面近？
